jueves, 31 de enero de 2013

Por qué 2 y 2 son 4.

Esto es verdad, como que 2 y 2 son 4
Si de algo se tacha a las matemáticas en la sociedad es de ser completamente exactas; de decir verdades como puños, vamos. Y si de verdades matemáticas hablamos, la primera que nos viene a la cabeza es lo que todos aprendemos de pequeños: 2+2=4.

Pero claro... cuando dices que eres matemático, una de las primeras cosas que te suelen preguntar es ¿y por qué 2+2=4? Para dar respuesta a esta intrigante pregunta está este pequeño post. Para que no se diga que los matemáticos dejamos cosas sin explicar. Eso sí, amigo. Para demostrar, habrá que pagar un precio. ¿Estás dispuesto a ello?

Para comenzar, hemos de establecer las bases más profundas del saber matemático: la construcción de los números naturales. El establecimiento de estos cimientos, se pude realizar de varias formas, pero aquí vamos a elegir una de las más naturales (bajo mi peculiar punto de vista): la Axiomática de Peano (si te interesa, también se puede axiomatizar los naturales a partir de la Teoría de Conjuntos).

Por si no estás muy puesto en esta terminología, te recuerdo que un axioma es un principio fundamental en el que se basa una teoría y que se acepta sin demostración. Habitualmente, se trata de postulados lógicamente evidentes, aunque, a veces, algunos axiomas son necesarios, pero para nada evidentes (véase el V postulado de Euclides). Para entendernos, los axiomas son los diferentes tipos de ladrillos con los que se levanta una teoría matemática (o científica).

Dar consistencia a las matemáticas fue algo que, durante mucho tiempo, preocupó a matemáticos de gran importancia. Y para establecer esas bases, lo primero que se debía hacer es dotar de fuerza a lo más íntimo de las matemáticas: los números naturales.

En lo que sigue, vamos a suponer que existe un cierto conjunto, que llamaremos Conjunto de Números Naturales y que denotaremos por [;\mathbb{N};]. Le vamos a dar contenido, vamos a definir algún concepto sencillo auxiliar. Definiremos qué entendemos por suma y, finalmente, comprobaremos que, con estas premisas, 1+1=2. Como corolario, obtendremos nuestro pretendido resultado.

Comencemos con los ladrillos, es decir, los Axiomas de Peano.
     P1.- El 1 es un número natural ([;1\in\mathbb{N};])
     P2.- Todo número natural [;n;] tiene un sucesor [;n^*\in\mathbb{N};].
     P3.- El 1 no es el sucesor de ningún otro número natural.
     P4.- Si [;n^*=m^*;] entonces [;n=m;].
     P5.- Si  [;1\in K\subset\mathbb{N};] y dado un elemento cualquiera [;k\in K;], se tiene que [;k^*\in K;], entonces [;K=\mathbb{N};].

Con estos axiomas ya tenemos uno de los ingredientes necesarios de nuestro teorema, el número 1. También tenemos otro ingrediente importante, como es el concepto de sucesor de un número natural. Gracias a este concepto, vamos a poder definir lo que entendemos por suma. Pero antes, nos conviene demostrar alguna que otra cuestión.

Proposición1: [;n\ne n^*;] para cada [;n\in\mathbb{N};].

Demostración. Sea [;K=\{n\in\mathbb{N}:\ n\ne n^*\};]. Por el axioma P3, se tiene que [;1\ne1^*;], por lo que [;1\in K;]. Además, si [;n\in K;] se tiene que [;n^*\in K;]. En efecto, si [;n^*\notin K;], entonces [;n^*=(n^*)^*;] pero entonces, por el Axioma P4 se tendría que [;n=n^*;] llegando a contradicción con que [;n\in K;].
Por lo tanto, podemos aplicar el Axioma P5 a nuestro conjunto [;K;] para concluir que [;K=\mathbb{N};].

Proposición2: Si [;n\in\mathbb{N};] con [;n\ne 1;], entonces existe [;k\in\mathbb{N};] tal que [;k^*=n;].
Demostración. Sea [;K=\{n\in\mathbb{N}:\ \exists k\in\mathbb{N}\text{ con }k^*=n\}\cup\{1\};].
Por definición, [;1\in K;]. Además, si [;n\in K;], es obvio que [;n^*\in K;] (basta tomar [;k=n;]). Por lo tanto, por el Axioma P5 se tiene que [;K=\mathbb{N};] y se concluye la prueba.

Definición: Sean [;n\in\mathbb{N};].
  • Se define [;n+1=n^*;].
  • Si [;m\in\mathbb{N};] y suponemos conocido [;n+m;], entonces [;n+m^*=(n+m)^*;].

Por cierto, que la Proposición2 me garantiza que esta definición abarca la suma de cualquier par de números naturales. En efecto, fijadas [;n,m\in\mathbb{N};], si [;m=1;] es claro que [;n+m=n+1=n^*;]; pero si [;m\ne1;], por la Proposición2 se tiene que existe [;k\in\mathbb{N};] con [;k^*=m;], por lo que [;n+m=n+k^*=(n+k)^*;].

Además, el Axioma P4 garantiza que la suma es única, mientras que el Axioma P2 nos asegura que la suma es una operación interna de los naturales, es decir, que la suma de naturales vuelve a ser otro número natural.


De todas las propiedades buenísimas que posee la suma (sí chicos, ésta es la definición de la suma de toda la vida), sólo vamos a necesitar, para nuestros propósitos, una: la conmutatividad. De hecho, tan sólo vamos a necesitar demostrar que el 1 conmuta con cualquier otro natural.

Proposición3: Para cada [;n\in\mathbb{N};] se tiene que [;n+1=1+n=n^*;].
Demostración. Por la definición de suma, sabemos que [;n+1=n^*;]. Veamos la otra igualdad, es decir, [;1+n=n^*;].
Para ello (y para variar un poco), vamos a volver a usar el Axioma P5. Sea [;K:=\{n\in\mathbb{N}:\ 1+n=n^*\};]. Es obvio que [;1\in K;] (vamos, [;1+1=1^*;] por la primera parte de la definición  de suma). Supongamos que [;n\in K;], entonces [;1+n=n^*;]. Ahora aplicamos la segunda parte de la definición de suma para conseguir: [;1+n^*=(1+n)^*;]. Pero [;1+n=n^*;], por lo que [;1+n^*=(n^*)^*;] y se tendría que [;n^*\in K;].
Ahora dejamos trabajar al Axioma P5 para deducir el resultado.


¿Ya? ¿Ya tenemos todo? ¿Ya podemos demostrar nuestro resultado? No. Aún no. De hecho, ni siquiera podemos entender nuestro resultado, ya que no hemos definidio qué entendemos por 2. Así que allá vamos.

Definición: Llamaremos [;2=1^*;].


Ahora sí que sí. Ya tenemos todo... Que sí, que sí, que no me mires con cara rara, que por el Axioma P2 sabemos que [;2\in\mathbb{N};] y, por la Proposición1 también sabemos que [;2\ne1;] (claro, 2 es el sucesor de 1 y ningún número es igual a su sucesor). Así que vamos a probar nuestro resultado principal.

Teorema: 1+1=2.
Demostración: Por la primera parte de la definición de SUMA, se tiene que 1+1=1*=2.

Si ahora llamamos [;4=(2^*)^*;], obtenemos como corolario, nuestro preciado resultado.

Corolario: 2+2=4.
Demostración. Por la definición de 2 y la de SUMA, se tiene que [;2+2=1^*+1^*=(1^*+1)^*;]. Por la Proposición3, sabemos que [;1^*+1=1+1^*;] y, de nuevo por la definición de suma, conseguimos que [;1+1^*=(1+1)^*;]. Ahora, tan sólo hace falta escribir todo junto y aplicar el Teorema anterior para conseguir que:
   [;2+2=1^*+1^*=(1^*+1)^*=(1+1^*)^*=[(1+1)^*]^*=(2^*)^*=4;]
Que es justamente lo que queríamos probar.

Pues hala, cuando alguien os pregunte que por qué demonios  2 y 2 son 4, ya tenéis a dónde acudir o a dónde enviar al cuestionador (nooooooooo!!!! a la mierda noooooo, sr. Fernán Gómez!): a este artículo. Y ya os podéis olvidar de dar respuestas tan extrañas como depende del espacio en donde sumes y cosas por el estilo que no harán más que liar a vuestro amado interlocutor... ¿o quizás no?

Tito Eliatron Dixit

PD: Fuente original MathForum a la que llegué a través de un tuit de @pickover. También usé parte de mis viejos apuntes de Álgebra así como mi puto cerebro matemático.

37 comentarios:

  1. ¿A ti te parece normal que ante una pregunta simple tengas que recurrir a semejante artificio? ¿No ves que así no solo no explicas, sino que encima complicas la cuestión?
    Con razón la gente opina que es imposible tratar con matemáticos.

    Aqui encima está la prueba.

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Aquí encima está la prueba de lo bonitas que son las matemáticas, no de otra cosa.

      Si conoce usted otra forma menos aparatosa (que no más sencilla, porque sencilla ya lo es), de demostrar que 2+2=4, soy todo ojos.

      Eliminar
    2. Esta es la construcción de Peano de los números naturales, y no es aparatosa, es mas es la más sencilla. Aunque personalmente prefiero la de Cantor esta explicación es clara, otra cosa es que tras ver el primer símbolo matemático nos llevemos las manos a la cabeza y comencemos a exhalar miedo o apatía. La gente que opina que tratar con matemáticos es imposible, yo soy uno, es la misma gente que prefiere que se les de la solución sin cuestionarla, de tratar con dogmas y no con verdades, y eso es lo último que hará un matemático. La absoluta certeza aunque se tenga que montar un edificio que para la mayoría de la gente es incomprensible, ya no incomprensible, que supone algo de esfuerzo comprender. Pero claro, siempre es mejor tragarse las razones y no argumentarlas. Y otra cosa, ¿pregunta simple? Sí, si tomamos como dogma que 1+1=2, ¿estamos completamente seguros que es así o sólo acostumbrados a base de tiza en la pared y golpe de regla en la mano? ¿Se puede fundamentar sobre alguna base?

      Eliminar
    3. Esta es la diferencia entre "mostrar" y "demostrar", lo primero parece fácil, pero nunca atina del todo, y lo segundo parece complicado, pero es riguroso y comprobable.

      Si prefieres lo primero, te va lo intuitivo, pero si quieres "ser matemático", te toca acpetar que lo segundo es la única forma correcta de enfocar el asunto... y normalmente la más sencilla si quieres entender de verdad lo que estas estudiando.

      Las matemáticas son muy duras por esto, si 2+2=4 ocupa todo eso, imagina demostrar cosas más "poéticas" en términos de pasitos incontestables.

      Por ejemplo: "Toda bola peluda tiene, al menos, un remolino. Eso es complicadísimo de plantear en detalle, y más de demostrar. Mostrarlo es comprarse un cojín en forma de bola y probar a peinarlo sin remolinos, hasta que te canses.

      Eliminar
    4. matemático = inteligente?

      Eliminar
  2. Voy a comentar para que el bueno de Johann Carl Friedrich no se zampe una integral, que tampoco le haría ningún daño que para algo es el Zorro más *mostro* de la historia Occidental xD.

    Primero, es pedagógicamente recomendable, p.ej., tan pronto sale el concepto de "sucesor" en la explicación, decir alguna parida para que la gente lo retenga. Lo va a retener igual, dada la forma de presentarlo en sociedad, pero los buenos prestidigitadores asocian sus cortinas de humo con buen rollito xD.

    Segundo, discrepo del Anónimo ut-supra. Lo primero (de los segundo xD) porque la pregunta de sencilla no tiene nada, antes al contrario, es de esos raros casos donde estalla ante nosotros la belleza de las matemáticas: la respuesta es más *sencilla* que la pregunta. Y segundo (de lo segundo), no tiene nada de artificio. De hecho, prueba que nuestro bagage pre-cargado de serie no es un artificio de nuestra mente al probar de esta forma que, efectivamente, 2 y 2 son 4.

    Como diría el Princeps Mathematicorum in Personam xD.

    ResponderEliminar
  3. Pues asi a bote pronto sin haber leido todo el tocho de este articulo yo diria que 2 mas 2 no tienen que ser necesariamente 4.

    Una funcion es un conjunto. Basicamente un subconjunto del producto cartesiano definido por los conjuntos de partida y de llegada. Podriamos convenir que el conjunto {((2,2),5)} podria ser nuestra funcion suma y en este caso 2 mas 2 serian 5.

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. No me la he leído, pero creo que lo quiere demostrar es que si llamamos 2 a 1+1 y 4 a 1+1+1+1, entonces 2+2=4.

      Eliminar
  4. - Un hombre puso una piedra junto a otra y dijo dos.
    - Luego repitió de nuevo con otras piedras diferentes y dijo otra vez 2.
    - Un amigo suyo juntó ambos grupos de piedras y dijo cuatro.

    Demostración de que siempre hay alguien más inteligente que tu...seguro que es matemático.

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Lo que tú dices es una buena recreación de cómo surgieron los números. Pero así sólo llegas a contar hasta cuatro, mientras que la demostración que aparece en este artículo abarca todos los infinitos números naturales y todas las posibles sumas entre ellos. Y todo ello con una sencillez pasmosa. Digo sencillez porque, bien explicado, cualquiera podría comprenderlo.

      Eliminar
  5. Para los que piensan que esto es artificial, aquí va mi opinión.

    Sí. Es cierto. Es artificial.

    Pero la belleza de las matemáticas radica, en parte, en que ha sido capaz de mirarse a sí misma e indagar en las más profundas raíces de su ser. Y no sólo mirarse sino tratar de fundamentarlas.
    LAs Matemáticas son tan HUMILDES que ha puesto de manifiesto incluso su propia inconsistencia. Y todos los matemáticos nos hemos enorgullecido de eso.

    ¿Qué otra disciplina científica ha tenido esta oportunidad?

    ResponderEliminar
  6. Que triste. Veo dos clases de comentarios: por un lado los de otros matemáticos o similares que se toman en serio el trabajo intelectual, y por otro los de los listillos que intentan deslumbrar con una ocurrencia sin ni siquiera dignarse a leerlo.
    .
    .
    .
    Éste pertenece al segundo grupo, evidentemente.
    .
    .
    .
    Pero al menos no desmerezco el esfuerzo de quien intenta entender estas cuestiones. Tiene mi admiración.

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Si no llega a (parte del) segundo grupo, es evidente que habré fracasado en el intento de divulgar las matemáticas.

      Mi intención última del post era poner de manifiesto que hasta lo más sencillo e intuitivo, en matemáticas, ha de ser demostrado. O al menos, se tiene que intentar fundamentar.

      Para un estudiante de matemáticas, una de las cosas más complicadas es darse cuenta de que algo debe ser demoswtrado y de qué herramientas hay que tomar como definiciones y cuáles no.

      Eso he intentado transmitir.

      EL hecho de conseguir una portada en MNM, me dice que quizás no he ido tan mal desencaminado. Y tu comentario me dice que quizás el conjunto de no matem´ticos que se ha intersado por el tema de verdad... es no vacío. Lo que no me gustaría es que fuese unitario.

      Eliminar
  7. Axioma = dogma de fe
    Axioma = ficción
    ¿Para que necesita ese alarde de erudición "dentro del sistema" si lo que se cuestiona es previo a la contrucción del sistema?
    2+2=4 es igual de cierto que 3f&6= morcilla. Obviamente si te lo crees y lo respetas

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin requerir demostración previa.

      Eliminar
    2. """¿Para que necesita ese alarde de erudición "dentro del sistema" si lo que se cuestiona es previo a la contrucción del sistema?"""

      Lo que se está cuestionando es 2+2=4, que es una conclusión muy posterior a esos axiomas que consideras dogmáticos.

      Los axiomas son tan dogmáticos como las reglas de un juego de mesa. Nadie te obliga a jugarlo, pero si quieres entrar en un club de ajedrez no es lógico pretender usar un tablero de parchís.

      ¿Por qué molestarse entonces en usar esas reglas y no las que te vengan a ti en gana? Porque si la analizas con detalle, la propia naturaleza sigue también unas reglas. Si creamos axiomas que sigan algunas reglas de la naturaleza, podemos inferir algunas consecuencias interesantes.

      Eliminar
    3. Los axiomas son necesarios porque si no existieran, cualquier demostración requeriría infinitos pasos (cada uno tendría que estar fundamentado en otro anterior, y así sucesivamente, lo cual es imposible). Pero eso no significa que sean arbitrarios.
      Si tú quieres definir 3f&6=morcilla como axioma, eres libre de hacerlo, pero no te va a llevar a ninguna parte.

      Eliminar
  8. Muy grande el artículo, y mira que llevo suspendiendo matemáticas desde 3° de la eso hasta hace... un par de meses (estoy en 4° de carrera (teleco...)) jajaja, así va el pais. En serio, muy buena la entrada. Es una de esas cosas que lees por accidente y luego te acuerdas durante años.

    ResponderEliminar
  9. Soy estudiante de Ingeniería de Telecomunicación, me peleo con matemáticas, señales, campos electromagnéticos, transmisiones y muchos otros conceptos a los que mucha gente ni siquiera soñaría con acercarse. Como Teleco, en mi formación, trabajo al día con transformadas y demostraciones que realmente lo único que demuestran es que hay que estar como una regadera para entenderas, ser capaz de ver más allá de lo que, simples catetos, son capaces siquiera de intuir. Cuando eres capaz de ver eso, llega un momento en el que te dices: Cojonudo, te puedo demostrar la transmisión de información mediante soportes ópticos, con los cálculos más minuciosos habidos y por haber, pero cuando he leido: ¿Por qué 2+2=4? No he sido capaz de responder, siempre me han dicho 2+2 = 4, pero... ¿Por qué? o mejor, como diría mi buen profesor de campos, ¿Cómo has llegado a esa conclusión? Aquí la mejor respuesta que he visto en mi vida, compleja, jodida y no apta para cenutrios, pero bonita y elegante. Mis más sinceras felicitaciones

    ResponderEliminar
  10. Nota mental, he dudado mucho en comentar. Llevo deseando que Gauss se trague sus integrales muuucho tiempo

    ResponderEliminar
  11. Interesante post, pero difícilmente comprensible para los que no estamos muy familiarizados con las notaciones matemáticas (personalmente, empecé a frustrarme ya en el 5º axioma). Supongo que la entrada se alargaría demasiado explicando con más detalle las fórmulas, pero al menos así conseguiría que un público más amplio pudiera apreciarla y que no quede reservada a una "élite" con buenos cimientos en matemáticas. Enhorabuena por el esfuerzo, en todo caso.

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Si sigues "bicheando" por mi blog, verás qque en él hay entradas de todo tipo, desde las que sólo son aptas para gente con un cierto nivel de preparación (o ganas -muchas- de tratar de comprender), y otras de niveles mucho más asequibles (incluso a niveles de básica).

      Creo que todos nos merecemos tener la oportunidad de leer cosas a nuestro nivel y por eso trato de ir variando. Ésta,, es evidente, requiere un nivel altito (no demasiado, pero sí de carrera científica).

      Pero creo que si alguien no es capaz de entender parte, puede picarse por comprenderlo.

      Eliminar
    2. Ante todo, gracias por tu amable respuesta. Lo cierto es que acabo de descubrir tu blog, así que invertiré algo de tiempo buscando algo más acorde con mis conocimientos (me temo que los que estamos formados en ciencias de la salud tenemos una buena base científica en muchos aspectos, pero matemáticamente hablando solo estamos realmente familiarizados con las aplicaciones de la estadística). También reconozco que tu última afirmación es irrebatible: seguramente mañana por la mañana, cuando vuelva a estar más despejado, retome la lectura para ver si logro comprender un par de líneas más. Saludos y de nuevo enhorabuena por la iniciativa.

      Eliminar
  12. Pues gracias, lo sabía desde hace mucho pero no sabía por qué.

    ResponderEliminar
  13. 1 +1 >1 que generalizado es n+1 >n y n+n> 2n para todo n

    Lo de sucesor es demasiado fuerte. No está definido. Qué es *ser sucesor* ? Mientras que *ser mayor* queda más claro y más definido a la vez para una caracterización axiomática de los números enteros. Naturalmente...

    Por otra parte hay que destacar que Peano hizo incursiones en lingüística, destacando su propuesta de una simplificación gramatical a la vez que sintáxica del italiano; de lo que queda bastante poco. Creo que se perdió la mayoría de lo que propuso. Sería interesante que conjuntamente algunos matemáticos que sepan latín y/o italiano junto con algunos especialistas en lenguas, trataran de retomar y estudiasen lo que dejó Peano -si queda algo; si no se ha perdido todo el trabajo que hizo Peano- sobre simplificación/racionalización/optimización de una lengua.

    Por otra parte sería interesante saber si Peano sabía que alguna de sus curvas que "rellenan" el plano, eran también fractales. Porque es posible que en aquella época los fractales fueran todavía un concepto nuevo; no aún formalizado como elemento matemático. Pero no lo sé.

    ResponderEliminar
  14. n +n >2n -1; je m´en excuse; c´est la faute à Voltaire.

    ResponderEliminar
  15. Por otra parte la afirmación que 2+ 2 = 4 sigue siendo axiomática sujeta a que se demostrara previamnete que hay 4 o más de 4 párticulas elementales en el Universo, lo que implica mostrar qué es una partícula elemental y porqué lo es y si son de verdad elementales. En un universo con sólo 3 partiulas 2+2 no tendría sentido. Ce serait bien la première fois que la physique -cette discipline expérimentale, mais qui ne le reconnaît point, en général- vient à la rescousse des mathématiques.

    ResponderEliminar
  16. Muy didáctico, aunque los de letras no hayamos entendido gran cosa. Yo siempre he pensado que dos mas dos son cuatro porque si tomo dos palitos (II) y los cuento (uno, dos) y luego cojo otros dos palitos (II) y también los cuento (dos), de manera que demuestro empíricamente que son dos y dos, y luego los junto (juntar es la definición de suma), con lo que tengo (IIII), que cuento (uno, dos, tres, cuatro), acabo de demostrar que dos y dos son cuatro.

    Para los de letras, claro. :D

    ResponderEliminar
  17. Estoy totalmente de acuero con Alfonso! Tambien me considero persona de "letras", las matemáticas para mí son como la montaña rusa, un cúmulo de sensaciones no siempre comprensibles.
    Como el compañero, mis métodos a la hora de contar son rudimentarios, el típico contar con los dedos de la mano, a día de hoy sigo sin comprender como aprobé "Análisis de Datos" ;-)
    Sensacional post!

    ResponderEliminar
  18. Bueno, no quiero ni imaginar la explicacion de como pasamos de:
    9 + 1 = 10

    ResponderEliminar
  19. Alfonso, lo que pasa es que llegado el momento los matemáticos se vieron obligados a abandonar las ideas intuitivas de andar por casa y reconstruir desde unas raíces más profundas, no por afición sino por necesidad.

    Lo más duro al empezar la carrera de matemáticas es que hay multitud de cosas que sabes desde niño y tienes prohibido utilizar, tienes que cambiar de chip totalmente a que se fijan unos axiomas y solo es legítimo utilizar esos axiomas y lo que seas capaz de demostrar partiendo de ellos. Es como el momento en que la entrada incide en que la suma de dos números naturales es realmente un número natural: una persona del mundo real diría "Pues claro, qué va a ser, ¿una pera?". Pero realmente se consideró necesario no dar nada por supuesto, ni siquiera que la suma de dos números va a ser otro número.

    ---
    Y, los que les parece largo y complicado este camino a 2+2=4, quizá prefieran los Principia Mathematica de Russell y Whitehead, donde no se llega a demostrar que 1+1=2 hasta la página 86...

    ...y quiero decir la página 86 del Tomo II, concretamente en el capítulo 110 :)

    Enlace

    ResponderEliminar
  20. Me parece que necesitas poner un problema que se demuestre casi de manera trivial a partir de lo que pones aquí y retes a los necios a resolverlo con piedritas a ver si es cierto que esta forma de ver las cosas es mera payasada.

    ResponderEliminar
  21. No se porque el 1 es el 1 y no el 7 , el 2 fuera el 4, ¿quien dijo que el 1 es 1...?
    y no pudiera ser 7+7=4 .
    ;-)

    ResponderEliminar
  22. no hay que probar NADA porque es un resulatdo EMPIRICO y demostrable y punto...

    1+1=2 +1 =3 y asi sucesivamente

    ResponderEliminar

Si no comentas, Gauss se comerá una integral.
Y, por favor, respeta a todos con tus opiniones.

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...