lunes, 30 de mayo de 2011

¡Qué casualidad!

¿Saben una cosa? Esta noche me ha ocurrido algo de lo más asombroso. Venía hacia aquí, de camino a la conferencia, y crucé por en medio del aparcamiento. Y no se van a creer lo que sucedió: vi un coche con la matrícula ARW357. ¿Se imaginan? De todos los millones de matrículas que hay en todo el Estado, ¿qué probabilidades había de que yo viera ésa en particular esta noche? Increíble...
Richard Feynman, vía Mala Ciencia de Ben Goldacre

¿Acaso necesita más explicación esta cita? Pues la perfecta definición de probabilidad a posteriori. Porque... a priori, la probabilidad de que un dardo dé en un punto cocreto de la diana es 0, mientras que, a posteriori, el dardo (casi) siempre da en alguno de esos puntos. En fin, que cuando algún alumno me salga con algo de este estilo, le responderé con esta cita del gran Feynman.

Tito Eliatron Dixit

miércoles, 25 de mayo de 2011

La importancia del -1 y el Último Teorema de Fermat

¿Cuántas veces nos han dicho los alumnos eso de "jo, por un signo"? Una de las respuestas más típicas es la de "eso, si al arquitecto le sale el puente del revés, dirá que es por un signo"; o bien aquélla que arguye temas más pecuniarios "claro, es lo mismo tener 1000€ que deber 1000€".

En cualquier caso, todo depende de un signo, o visto de otro modo, de un . A continuación vamos a comprobar ómo puede afectar a uno de los teoremas más conocidos de las matemáticas, el Último Teorema de Fermat. Hace ya algún tiempo, vimos por aquí una variante a la que llamamos Teorema de Tamref, ahora os propongo la siguiente:

Demostrar que la ecuación tiene solución entera () para cualquier entero.
¿Véis la diferencia? en realidad es un simple , un signo, vamos. Pues bien, lo curioso del caso es que no es demasiado complicado ver que este problema tiene infinitas soluciones.

Os voy a dejar una sencillita, pero que sepáis que hay otra. En primer lugar, vamos a intentar resolver en un caso particular, aquél en que . Entonces nuestra ecuación queda de la forma





¿Qué hace falta entonces para que se dé esta igualdad? pues lo primero es que debe ser par, lo que implica que (por aquello de par por par, par; impar por impar, impar) debe ser par, es decir, con . Por lo tanto, la nueva ecuación será




o lo que es lo mismo .

Para que esta ecuación tenga solución entera, es decir, que , el segundo miembro tendría que ser una potencia enésima, es decir, algo elevado a . Para ello, como ya tengo un factor , debería aportar algún otro factor para que compense. Me explico mejor. Vamos a buscar de la forma con a elegir.

Si ponemos todo junto, resulta que . Ahora bien, para poder extraer "raíz enésima" en ambos miembros de la ecuación (y poder despejar la ), debe ocurrir que el exponente del y el de sean múltiplos de .

Por lo pronto, podemos elegir y así el exponente de será múltiplo de . Para arreglar el exponente del , podemos elegir .

De esta forma, nos queda , de donde . Y por otro lado, .

¿Y cómo elegimos ? Pues esto es lo mejor de todo: como queramos. Con lo que nuestro problema, no sólo tiene solución, sino que, además, hay infinitas soluciones.

Es evidente que este método no sirve para el verdadero Último Teorema de Fermat, y esto os lo dejo a vosotros. También os dije que hay más soluciones, pero también os dejo a vosotros cómo obtenerlas:



,   ,   .




 Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada forma parte de la Edición 2.4 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Seis Palabras.

Referencias:
Minus one, but what difference de Kut the Knot
What a difference a minus one makes! de CTK Insight

lunes, 23 de mayo de 2011

Lo maravilloso de las Matemáticas

Pensemos en la descripción verbal del efecto de la gravedad: si tiramos una bola cae. Cierto, pero inexacto, para frustración de los científicos. ¿Con qué velocidad cae la bola? ¿Cae a un ritmo constante o acelerado? ¿Caería más rápidamente una bola más pesada?
Más palabras, más frases proporcionarían más detalles, inflándose hasta convertirse en un párrafo difícilmente manejable y aún incompleto. Lo maravilloso de las matemáticas es que captan con precisión en unos cuantos símbolos lo que sólo se puede describir torpemente con muchas palabras. Esos símbolos, reunidos en un orden con sentido, componen ecuaciones, que a su vez constituyen el corpus de conocimiento más conciso y fiable del mundo. Y de esa forma, la física ofrece una ecuación muy sencilla para calcular la velocidad de una bola al caer.


Conocí este artículo a través de uno de mis alumnos del Máster de Enseñanza Secundaria (vía Dpto. Física y Química del IES Sierra Magina). Es cierto que una ecuación matemática abarca, en muy poco, lo que el verbo tardaría mucho en poder decir... y a las pruebas me remito. ¿O acaso no nos dedicamos los profesores a verbalizar las fórmulas para que los alumnos las entiendan mejor?

En fin, que esta es mi opinión, pero prefiero escuchar las vuestras.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada forma parte de la Edición 2.4 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Seis Palabras.

viernes, 20 de mayo de 2011

Un sofá algebraico

Hoy, por ser viernes, os traigo algo para descansar... un buen sofá.

¿Os gusta el diseño? Pues se trata de una superficie algebraica, en concreto y podéis encontrar muchas más en esta Galería de Superficies Algebraicas.

Si os pasáis por la exposición RSME-Imaginary podréis disfrutar de muchas de ellas y.


Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada forma parte de la Edición 2.4 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Seis Palabras.

miércoles, 18 de mayo de 2011

Y todo fue número: otro paseo matemático por la feria de la Ciencia

El pasado fin de semana (jueves incluido) tuvo lugar en Sevilla uno de esos acontecimientos de divulgación científica que debería aparecer en todos los medios de comunicación de tirada nacional... pero que, al final, sale en los medios locales (y no demasiado). Me refiero a la IX Feria de la Ciencia de Sevilla.

La Feria de la Ciencia, tal y como indican en el dossier de prensa, es la principal actividad del proyecto Ciencia Viva, Ciencia Compartida que desarrolla la Sociedad Andaluza para la Divulgación de la Ciencia (SADC). La SADC es una asociación sin ánimo de lucro que tiene entre sus principales objetivos promover la enseñanza de las ciencias y la divulgación científica.

En la presente edición se ha elegido como lema principal "Todo es número", aunque tambiénse ha tenido en cuenta que estamos en el Año Internacional de la Química y de los bosques.

El objetivo final de esta actividad es el de compartir y acercar la Ciencia a todos los ciudadanos, para lo cual la Feria cuenta con más de 3500 divulgadores entre alumnado, profesorado y personal investigador de toda la provincia de Sevilla y alrededores.

Como la anterior edición supuso un magnífico paseo científico y matemático, este año no podía ser menos y pasé buena parte de la mañana del sábado bicheando un poco por los diferntes stands de colegios, institutos y demás instituciones.


En primer lugar me dirigí a la zona en donde, en años anteriores, situaron la mayoría de los stands relacionados con las matemáticas. Y bingo. Lo primero que pude ver fue un sombrero muy particular. Y su dueño no era el sombrererro loco, sino alguien que, aunque tal vez comparta parte de su locura, despertó en mi una profunda admiración. En el stand 45 de la Fundación Descubre estaba @magomoebius, autor del blog Juegos Topológicos y de Mago Moebius. Este investigador y profesor de la Universidad de almería (y próximo anfitrión de nuestro Carnaval de Matemáticas) nos obsequió con algunas de las más impresionantes figuras de su Cuento de una Maripompa, en el que matemáticas, arte y pompas de jabón se entremezclan para deleitar a grandes y pequeños.




El cigarrillo era electrónico, malpensados.

Además, también pudimos ver y tocar algunas proyecciones tridimensionales de algunos politopos regulares (poliedros en dimensiones superiores). Pero lo mejor era buscar sombras especiales con dichos artilugios.
 
Tito Eliatron con un Hiperdodecaedro
Seguidamente, me topé con el stand de la Facultad de Matemáticas, en el que antiguos alumnos explicaban, con una maqueta hecha por el Aula de Cultura de la Facultad hará unos 3 años, el problema de los Puentes de Königsberg


En otro stand, el número 57, me encontré con algunas figuras curiosas y que llamaron mi atención, las llamban los módulos de Kamal-Alí.


En el stand 58 nos encontramos con el Grupo Alquerque (con Pepe Muñoz de Algo más que números), su matemagia, sus juegos manipulativos para experimentar las paradojas de las matemáticas


y una exposición de paneles titulada Matemáticas de Cerca.

 A continuación, otro plato fuerte. Ahí estaba Joaquín García Mollá con sus Matemáticas Interactivas y Manipulativas. En este stand, además de los juegos que nos suele enseñar en su blog, nos encontramos con explicaciones de esas de tocar de polígonos estrellados y fracciones. Además, pudimos ver cómo el arte y las matemáticas se unen al describir mediante hilos todas y cada una de las diagonales de un hectágono (sí hectágono, polígono regular de 100 caras).

Y otra cosa que me llamó la atención es la construcción, mediante hilos, de un Triángulo de Reuleaux

Pero quizás una de las cosas más impresionantes fue la magnífica braquistócrona o tautócrona o cicloide que, con explicación incluida de su propio hijo, nos obsequiaron.

AH! se me olvidaba, no me fui de ese stand sin un bonito regalo (con envoltorio incluido) del gran Joaquín:




Y ya de vuelta, que se me hizo tarde para volver a comer (y tenía invitados en casa), sólo pude ir de pasada por algunos otros stands. Uno de los que más me llamó la atención fue el nº 35 titulado "... y se hizo la luz" en el que nos mostraban algunas ilusiones ópticas como la que os dejo aquí abajo

en donde la profundidad ES la ilusión, ya que son relieves "hacia afuera". Pero lo que más me gustó fue la ilusión de la moneda ¿véis la moneda y el puntero láser?
pues en realidad no estaba allí, sino algo más abajo.

Ya fuera, una alumna del IES Fuente Grande de Alcalá del Valle (Cádiz) me midió utilizando un curioso artefacto y el Teorema de Thales







Y dejo lo mejor para el final. Era un stand pequeñito, al igual que sus ocupantes. Era un stand que estaba algo marginado, al igual que sus ocupantes. Era el stand 13 "numeritos por aquí, numeritos por allá" en el que niños de 3º, 4º, 5º y 6º de primaria de dos colegios de las Tres Mil Viviendas de Sevilla (sí ese barrio que siemrpe sale en callejeros cuando ponen lo peor de Sevilla), nos enseñaron varias lecciones.



La primera es que niños de esas edades pueden hacer matemáticas. No a altos niveles, pero sí al suyo. En concreto jugando con los números me adivinaron mi fecha de nacimiento. Pero también nos enseñaron que la ilusión no depende de dónde has nacido, si en un buen barrio de Sevilla o en uno marginal. Y la ilusión con la que esos niños se te acercaban y te explicaban lo que habían aprendido... es algo que no tiene precio. Desde aquí quiero dar la enhorabuena a sus profesores, porque la labor que hacen es descomunal.

Y hasta aquí llegó mi paseo. Cuando me fui, tuve la misma sensación que cuando visité por priemra vez el museo del Prado: Necesito mucho más tiempo. Pero por desgracia es algo que en esta vida escasea. ASíq ue muchos magníficos stands de muchos alumnos y sus profesores se hanq uedado en el tintero. Pero sí quiero destacar la gran afluencia de público en general que habí y, en particular, de familias con sus hijos de todas las edades.

La ciencia es divertida, sí, pero hay que concienciar a nuestros hijos, nuestros alumnos, desde pequeñitos para que así la amen.



Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada forma parte de la Edición 2.4 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Seis Palabras.
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