sábado, 30 de octubre de 2010

Halloween matemático

Ya estamos en la noche de Halloween y aquí os dejo una viñeta cómica de los amigos de XKCD.

calabazas talladas


Aquí os dejo un intento de traducción:
Viñeta 1
- Bueno, ¿qué es lo que has hecho?
- Acabo de tallar una calabaza.

Viñeta 2
- ¿Qué? Preparándote contra los vándalos adolescentes, ¿no?
- ¡Cielos, no! Mi calabaza simplemente tiene dolor en el pecho. De hecho, voy a dejar una nota de advertencia para que no la destrocen.

Viñeta 3
- El nombre de mi calabaza es Harold. Se acaba de dar cuenta de que todo el tiempo que pasaba soñando despierto, ahora lo pasa preocupado. Más adelante, tratará de distraerse con tradiciones navideñas, pero no va a funcionar.

Viñeta 4
- Tallé y tallé y lo siguiente que recuerdo es que tenía dos calabazas.
- Te dije que no usaras el Axioma de Elección.


Para el que aún no haya pillado la gracia final, os recomiendo que os leáis el artículo que sobre La Paradoja de Banach-Tarski escribieron en Gaussianos. Sí, esa que dice que es posible cortar una esfera de forma que con las piezas resultantes puedas construir 2 esferas de idéntico tamaño a la original... y para ello hay que utilizar el Axioma de Elección.

En fin, que feliz, terrorífico y matemático Halloween.

Tito Eliatron Dixit

jueves, 28 de octubre de 2010

El segmento de puntos gordos o por qué π=2

No vamos a andarnos con rodeos. Hoy os voy a demostrar que π=2. Así, tal y como suena, contradiciendo a la Biblia, a Euler y a toda la Matemática clásica y moderna. Vamos allá.

Vamos a partir de un segmento de longitud 2. Vamos a suponer que el segmento es el intervalo que va del punto $P(-1,0)$ hasta $Q=(1,0)$; para entendernos, el intervalo $[-1,1]$.

En el estado inicial, vamos a construir la semicircunferencia de centro el origen y de radio 1. La longitud de esta curva es, pues, $L_0=\pi$.



En la primera iteración, vamos a construir 2 semicircunferencias. Divido el intervalo inicial en 2 subintervalos iguales. En el intervalo $[-1,0]$ construyo la semicircunferencia (superior) de centro $-1/2)$ y radio $1/2$, mientras que en el intervalo $[0,1]$ construyo la semicircunferencia (vamos a hacerla inferior, que quedará más bonito) de centro $1/2$ y radio $1/2$. Como se trata de 2 semicircunferencias, ambas de radio $1/2$, la longitud de la curva formada por la unión de ambas circunferencias tiene longitud $L_1=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi$.



En la segunda iteración, cada uno de los intervalos anteriores, los vuelvo a dividir en 2, es decir, me quedo con los intervalos $[-1,-1/2]$, $[-1/2,0]$, $[0,1/2]$ y $[1/2,1]$. Sobre el primero construyo la semicircunferencia superior, sobre el segundo la inferior, sobre el tercero la superior y sobre el cuarto la inferior. En total son $2^2=4$ semicircunferencias de radio $1/2^2=1/4$, por lo que la longitud de la unión de estas curvas será $L_2=4\cdot\frac{\pi}{4}=\pi$.



En la enésima iteración, tendremos $2^n$ subintervalos de igual amplitud y sobre ellos, construimos, alternativamente, las semicircunferencias superior e inferior. Así, en total habrá $n$ semicircunferencias de radio $1/2^n$ y la longitud de la curva resultante será $L_n=2^n\cdot\frac{\pi}{2^n}=\pi$.

En el límite, este proceso desemboca en el propio segmento inicial $[-1,1]$, por lo tanto $\lim_{n\to\infty}L_n=\textrm{longitud}[-1,1]=2$. Pero como cada $L_n=\pi$, se deduce que $\pi=2$.

Imponente, ¿verdad? Pues buscad algún error, que en este caso... no lo hay. Entonces... ¿qué es lo que falla? ¿Acaso nos han engañado y el verdadero valor de $\pi$ es 2?

No, ni mucho menos. Vamos a dar 2 (posibles) explicaciones a esta paradoja. La primera de ellas es la que da nombre al artículo, es fácil de entender aunque quizás no sea muy rigurosa; mientras que la segunda explicación es bastante más precisa y técnica pero difícil de entender.

Una posible forma de explicarlo es recurrir a los fractales. El problema es que en matemáticas las cosas no siempre son como parecen y, aunque parece que este proceso acaba desembocando el el propio segmento, la realidad es que el conjunto límite es esencialemente distinto. Se trataría de lo que yo mismo he llamado segmento de puntos gordos. Sería un conjunto de tipo fractal en la que la línea límite recorre el segmento $[-1,1]$ pero de forma ondulada en cada uno de los puntos de la forma $k/2^n$ (con $k,n\in\Bbb{N}$. Estos puntos, que se conocen como racionales diádicos, tienen la propiedad de ser densos en el segmento, es decir, que casi casi lo llenan pero no del todo. Por lo tanto el límite no sería el segmento, sino un conjunto mucho más perverso.

ATENCIÓN, VA A COMENZAR UNA EXPLICACIÓN MUY TÉCNICA EN MATEMÁTICAS.

La segunda explicación, mucho más técnica y matemática, tiene que ver con la convergencia uniforme de sucesiones de funciones. Si llamamos $f_n(x)$ a la función que define la línea de semicircunferencias en la etapa $n$, es fácil comprobar que $f_n\to0$ incluso uniformemente, es decir, que como funciones, sí tienden al segmento. El problema es que la convergencia uniforme de funciones, no implica la convergencia uniforme de las derivadas. De hecho, en este caso, en cada etapa estamos introduciendo muchos puntos donde la función no es derivable: allí donde se unen 2 semicircunferencias, la tangente es completamente vertical, por lo que no puede ser derivable. ¿Y qué tiene que ver esto con la longitud? Pues resulta que para calcular la longitud de una curva $y=f(x)$ en un intervalo $[a,b]$ tan sólo hay que calcular la siguiente integral: $\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx$. Es decir, para poder hablar de longitudes, hay que poder hablar de derivadas. Y lo que no se tiene es un resultado que asegure que si $f_n\to f$ uniformemente, entonces $f'_n\to f'$ uniformemente, por lo tanto tampoco podemos esperar que $\textrm{longitud}(f_n)\to\textrm{longitud}(f)$, por mucho que haya convergencias uniformes de las $f_n$.

FIN DE LA EXPLICACIÓN TÉCNICA EN MATEMÁTICAS.

En resumen, que de una forma o de otras, en matemáticas, las cosas no son siempre como parecen ni parecen lo que en realidad son.

Tito Eliatron Dixit

PD: La falacia/paradoja original, sin solucionar, la encontré en el blog Disgresiones 3.0 gracias a un mensaje privado de @vientoblanko. Yo he modificado un poco la construcción original... más que nada para hacerla un poco más visual y bonita.

lunes, 25 de octubre de 2010

Un hecho destacable

Es un hecho destacable que una ciencia que empezó analizando juegos de azar acabe convirtiéndose en el más importante objeto del conocimiento humano


Realmente no sé, a ciencia cierta, si la cita de Laplace se refiere a todas las Matemáticas o sólo a la Probabilidad. Seguramente, y dado el origen puramente geométrico de la matemática griega, se refiera a lo segundo, aunque tanto como llegar a ser el más importante objeto del conocimineto humano... no sé yo. Pero a las encuestas me remito.

¿Qué opináis vosotros?

Tito Eliatron Dixit

viernes, 22 de octubre de 2010

Por la espalda

Si a alguno de mis alumnos de éste o del año pasado, les pongo esta integral




seguro que el BUFFF!, o el, ¿OTRA? sería lo mínimo que saldría de sus bocas.

Pero los chicos de Saturday Morning Breakfast Cereal han dado con la forma óptima de plantear estos problemas:



Espero que estés disfrutando
=?
Si no respondes en 30 segundos, esto se acabará.


Mucho más motivador este planteamiento, dónde va a parar. Casi casi del mismo tipo que esta otra imagen de LukeSurl para aprender a representar gráficamente la tangente


En fin, que vosotros me diréis si no hay material docente suficiente como para hacer que las clases de matemáticas sean interesantes. Al menos para el género masculino, claro.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada va a formar parte de la VII Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será El Máquina de Turing.

miércoles, 20 de octubre de 2010

RENFE ¿"timador" o "timado"? Porcentajes y descuentos

Pues sí, amiguitos, vamos a hablar de RENFE, pero no de su web (que eso es harina de otro cantarcostal), sino de los descuentos que ofrece en ella.

No, esto no es un post patrocinado (pero si RENFE lo estimara oportuno, uno está abierto a escuchar ofertas.... ¿no? pues nada, sigamos). Vamos a hablar de cómo renfe aplica ciertos descuentos y a darnos cuenta que no es del todo verdad lo que dice.

Vamos a centrarnos en viajes de larga distancia (un AVE Sevilla Madrid, por ejemplo) de ida y vuelta. Tal y como anuncian en su propia web el descuento es del 20%. Pero ¿cómo hacen este descuento?

Uno, ingenuo él, podría pensar que suman el importe del billete de ida y el del billete de vuelta y a esa suma le hacen el 20% de descuento. Lo cierto es que no suelen hacerlo así. En realidad te cobran íntegro el importe del viaje de Ida, y te hacen el 40% en el de vuelta. Yo supongo que esto lo harán por si alguien compra una Ida y, después, decide hacer la vuelta, pero bueno, que tampoco es que lo entienda mucho.

Pero dejémonos de zarandajas y pasemos a las matemáticas. En un principio, a un comprador incauto (o no tato) le podría parecer que ambos métodos son exactamente iguales. Craso error.

Para que ambos métodos arrojen el mismo resultado, el importe de la ida y de la vuelta deben ser iguales. En otro caso, no coinciden.

Vamos a comprobarlo. Supongamos que es el importe del billete de ida y que es el importe del de vuelta. Por el primer método explicado (el de hacer un 20% a la suma) tendríamos que pagar , mientras que por el segundo método (nos hacen el 40% en el de vuelta) tendremos que pagar . Para ver cuándo coinciden, sólo hay que igualar y resolver: o lo que es lo mismo . Si ahora pasamos las al primer miembro y las al segundo, se obtiene que , que en definitiva se reduce a que .

Y aquí es donde está la trampa. En muchas ocasiones, es posible comprar billetes de Ida y Vuelta en la que los precios no coincidan (por elegir en unoTurista y en otro Preferente, o bien porque elegimos tarifas diferentes).

En estos casos, ¿qué conviene más? Si usamos el Método RENFE (40% en la vuelta) será más ventajoso siempre que , mientras que si da la casualidad que , nos convendría más que nos cobraran el método 1 (20% a la suma).

En efecto, si , entonces , o lo que es lo mismo, , de donde , es decir, si la Ida es más cara que la vuelta, el método RENFE es más caro que hacerte un 20% en ambos trayecto. Por tanto, podrías reclamarles ya que te estarían "timando" ¿no?

Así que mi consejo matemático de hoy es que, si después de intentarlo mucho, logras comprar billetes a través de la web de RENFE, procura que el viaje de Ida sea más barato que el viaje de Vuelta, ya que así RENFE te estará haciendo un descuento superior al 20%, por lo que tú serías ahora el "timador".

Para que luego digan que las Matemáticas no sirven para nada. Sirven para "timar" a la RENFE.

Tito Eliatron Dixit

PD aclaratoria: este artículo sólo pretende mostrar una curiosidad matemática relacionada con porcentajes. En ningún momento se pretende desprestigiar a RENFE, ya que, supongo, la forma que tienen de aplicar los descuentos será perfectamente legal y estará escrita en algún lugar de su web (aunque yo, torpe de mí, no lo encentre). El uso de la palabra "timar" se hace de forma entrecomillada para hacer constar lo anteriormente dicho.

PD2: Esta entrada va a formar parte de la VII Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será El Máquina de Turing.

lunes, 18 de octubre de 2010

Teoría y realidad

La geometria fractal no distingue, a propósito, entre conjuntos matemáticos (la teoría) y objetos naturales (la realidad). Incomparablemente más afín al mundo físico que la geometría euclídea.


Está claro que la cita de hoy debía ser un homenaje póstumo a Benoït Mandelbrot. Y ésta en particular me ha parecido muy adecuada, ya que describe muy bien la idiosincrasia de la geometría fractal: donde la teoría encuentra a la realidad. Muy en la línea de otra cita que ya publiqué hace tiempo y que titulé Peligro, fractales a la vista.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada va a formar parte de la VII Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será El Máquina de Turing.

sábado, 16 de octubre de 2010

Benoït Mandelbrot 20/11/1924-14/10/2010

Recién encendía el ordenador he comnezado a leer lamentables rumores sobre la muerte, hoy 16 de Octubre el pasado jueves 14 de octubre, del matemático francés, y padre de la geometría fractal, Benoït Mandelbrot.

No sé si puede llamarse confirmación oficial, pero, mientras escribía estas líneas, he encontrado el obituario que de él han hecho en el New York Times, según el cual (y citando a su esposa Alliete como fuente), ha muerto a causa de un cáncer pancreático.

Como homenaje a uno de los grandes matemáticos (y científicos, en general) del siglo XX, os dejo con un par de vídeos de él. El primero de ellos es la última charla que pronunció en el TED con título Fractals and the art of roughness (Fractales y el arte de la rugosidad). La charla es en inglés, pero están disponibles los subtítulos en español.


El segundo vídeo es una entrevista con Eduard Punset en Redes emitida en 22 de febrero de 2007 (está disponible la transcripción de la entrevista en formato PDF).



Y no podría concluir este pequeño homenaje, sin mostraros el conjunto que lo hizo famoso.



D.E.P.

Tito Eliatron Dixit

viernes, 15 de octubre de 2010

Una breve historia impresionista de la trigonometría: de Arabia a Europa, pasando por China

Este artículo ha sido publicado previamente en Amazings y ha supuesto mi segunda colaboración con esta magnífica web.

Lo reproduzco en mi blog íntegramente, por si aún hay alguien que no lo haya leído en Amazings.

Si quieres, puedes ver el resto de mis colaboraciones con Amazings en el link anterior.



En el presente artículo, vamos a continuar nuestro repaso a la historia de la trigonometría aportando breves destellos de información.

En la primera parte de esta historia (la puedes leer en Amazings o en Tito Eliatron Dixit), vimos el origen etimológico de la palabra trigonometría, sus orígenes en la antigua Babilonia y el Egipto de las pirámides, la consolidación en la Grecia clásica y las últimas aportaciones de los matemáticos hindúes.

A continuación veremos qué ocurrió con la avanzada matemática islámica, la siempre misteriosa y pseudo-oculta ciencia china y la llegaday consolidación a la europa occidental.


Los Árabes

La matemática árabe y, en particular, la trigonometría, se alimentó fundamentalmente de la Grecia clásica por un lado y de la India por el otro. De hecho, la mayor parte de los trabajos hindúes fueron no sólo traducidos por matemáticos árabes y persas, sino que también extendieron muchos resultados, alejando la trigonometría de las meras aplicaciones, que era lo que fundamentalmente se hacía hasta esos momentos. Una de sus aportaciones más singulares fue la de tomar r=1 en la circunferencia goniométrica, a diferencia de los antiguos griegos que usaban r=60. De hecho, algunos historiadores apuntan a que en este momento “aparece por primera vez la trigonometría real, en el sentido que el objeto de estudio pasan a ser los triángulos esféricos o planos y los ángulos y lados que los componen”.

A principios del siglo IX, Al-Kwarizmi construye las primeras tablas exactas del seno y el coseno y, por primera vez, tabula los valores de la tangente. Poco después otro matemático árabe, Al-Marwazi, produce la primera tabla de cotangentes.

Pero quizás el matemático árabe que más aportaciones ofreció a la trigonometría fue Al-Battani, quien, además de definir las razones trigonométricas recíprocas (secante y cosecante) y sus tablas, indagó en varias relaciones trigonométricas (ahora clásicas), estableciendo, por ejemplo, que ó .


Ya en el siglo X, los matemáticos árabes y, en particular, Abu al-Wafa, ya utilizaban las 6 razones trigonométricas clásicas (que como bien cantaban Les Luthieres eran: seno, coseno, tangente y secante y la cosecante y la cotangente). Éste matemático árabe consiguió compilar tablas del seno de hasta 8 decimales de precisión y con intervalos de cuarto de grado. Fórmulas de duplicación del seno o el Teorema de los Senos para trigonometría esférica, fueron otras de las aportaciones de al-Wafa.

Y no podemos terminar el apartado sobre trigonometría árabedejar sin hablar del matemático andalusí, procedente de la actual Jaen, Al-Jayyani, quien con su Libro de los arcos esféricos desconocidos, escribe el primer tratado conocido sobre trigonometría esférica.

Teorema del Coseno, tablas de las razones trigonométricas con más de 8 cifras decimales exactas, métodos de triangulación, mediciones del tamaño de la tierra y de distancias entre lugares… todos estos logros también fueron sucesivamente alcanzados por los matemáticos árabes en su afán por ahondar en las entrañas de la trigonometría.


China

En un primer momento, la trigonometría en China no pasaba de ser meros cálculos tabulados traducidos de los matemáticos hindúes. Sin embargo, este estado embrionario de la trigonometría china comenzó a cambiar cuando se dieron cuenta de la necesidad de desarrollar la trigonometría esférica para un correcto manejo de los calendarios y las posiciones astronómicas. Así, por ejemplo, el matemático chino Shen Kuo (1031-1095) utiliza las funciones trigonométricas para resolver problemas relacionados con cuerdas y arcos y encuentra una fórmula que permite aproximar la longitud de un arco de circunferencia en función del diámetro de la circunferencia , la longitud de la cuerda del arco y la sagita (distancia entre el punto medio del arco y su cuerda) .

Esta última fórmula parece ser que fue la base sobre la que trabajó otro matemático chino Guo Shoujing para desarrollar sus trabajos sobre trigonometría esférica, mediante los cuales fue capaz de calcular la duración del Año Solar, con un error menor que 26 segundos. Sin embargo, a pesar de los esfuerzos de Guo en esta materia, el interés por la misma desapareció de China hasta que en el siglo XVI se publicaran los Elementos de Euclides.


Europa Occidental: Trigonometría clásica

La trigonometría llega a europa a partir del siglo XII a través de la cultura árabe. Pero no es hasta el siglo XV cuando se realizan los primeros trabajos de importancia sobre este tema.

Quizás el primer matemático europeo que se adentró en el campo de la trigonometría fue Johann Müller, conocido como Regiomontano debido a la traducción al latín de su ciudad de origen: Königsberg. Su obra fundamental es De Triangulis Omnimodis, en la que, con una estructura similar a los Elementos de Euclides, trata sobre las definiciones básicas relacionadas con la trigonometría, establece el Teorema de los Senos y otros 55 teoremas más y los aplica a la resolución de triángulo, ofrece una fórmula para calcular el área de un triángulo en función de 2 de sus lados y el ángulo que forman, y, finalmente, se ocupa de diversos aspectos de la trigonometría esférica.

Quizás fue en el Opus palatinum de triangulis de Rheticus (siglo XVI), alumno de Copérnico, en donde se definen, por primera vez, las razones trigonométricas en función de triángulos rectángulos y no a través de circunferencias como venía siendo habitual hasta esos momentos. Asimismo, proporcionó tablas, con una exactitud de 10 segundos, de las seis funciones trigonométricas.

El último gran aporte a la trigonometría clásica fue la invención de los logaritmos por el matemático escocés John Napier en 1614. Sus tablas de logaritmos facilitaron en gran medida el arte de la computación numérica, incluyendo la compilación de tablas trigonométricas.


Europa Occidental: Trigonometría analítica

En el siglo XVII comienza a cambiar el carácter geométrico de la trigonometría, inclinándose hacia aspectos más algebraicos y analíticos, y principalmente dos descubrimientos ayudaron en este proceso: el álgebra simbólica, con François Viète a la cabeza; y la geometría analítica, con Fermat y Descartes como principales paladines. De hecho, Viette comprueba que algunas ecuaciones algebraicas pueden resolverse en términos de razones trigonométricas.

Pero la herramienta que definitivamente dotó a la trigonometría de su moderno aspecto actual es la invención del Cálculo Infinitesimal a cargo de Newton y/o Leibniz (según quiera el lector, claro). En particular, Newton establece el desarrollo en series de potencias del seno y del coseno, aunque parece que parte de estos desarrollos eran ya conocidos por el matemático hindú Madhava, y previamente, James Gregory en 1671, obtiene el desarrollo en series de potencias de la función arcotangente, consiguiendo, de paso, una bonita relación entre p y los número naturales:

La aparición de los números complejos supuso en definitivo impulso a la nueva trigonometría. En particular, Abraham de Moivre en 1722 establece la conocida fórmula

.

en la que álgebra y geometría se dan la mano a través del binomio de Newton.

Pero fue el gran matemático Leonhard Euler quien estableciera la inseparable relación entre trigonometría y variable compleja con su conocida fórmula eia =cos(a) + i sen(a), de la que se puede derivar La Fórmula Preferida del Profesor o Identidad de Euler


en la que se relacionan de una forma maravillosamente simple los 5 números más importantes de toda la historia.

Con la introducción de la función exponencial los límites de la trigonometría son insospechados. A partir de aquí, no se puede decir que haya habido aportaciones muy importantes a la trigonometría en sí, sino que este campo pasa a ser una herramienta analítica más que los matemáticos y científicos de todo el mundo utilizamos para innumerables situaciones: desde series de Fourier hasta mecánica cuántica.

Pero, afortunadamente, la historia continúa, ya que en matemáticas siempre hay cosas que investigar.

Tito Eliatron Dixit



Bibliografía:

Historia y Didáctica de la trigonometría, Francisco Luis Flores Gil.

Historia de la Trigonometría, de El Rincón del Vago.

Trigonometry, en Encyclopaedia Britannica.

History of trigonometry, en Wikipedia inglesa.


Imágenes: Todas están extraídas de los correspondientes artículos de la Wikipedia.

miércoles, 13 de octubre de 2010

El teorema de Tamref

Hoy os traigo un sencillo problema de teoría de números cuya demostración cabe en el margen de cualquier libro.

Se trata de demostrar que la ecuación

no tiene soluciones enteras para , porque, claro, si es evidente que sí hay soluciones. Por ejemplo, basta tomar y ; o bien y .

No, no me estoy volviendo loco. Esto no es el Último Teorema de Fermat. Pero digamos que la relación que tiene con él es la misma que la Conjetura de Hcabdlog con la archiconocida Conjetura de Goldbach.

Si en una semana no han dado con la solución, os la dejaré en un artículo. En la fuente original [1] viene cómo resolverlo, así que lo suyo sería no mirarla.

Aunque, ahora que lo pienso, os dejo con un problema derivado que se me acaba de ocurrir y cuya solución no viene en la fuente.

Para , ¿hay más soluciones aparte de las que ya he dado? Mejor todavía ¿podéis encontrar una esquema para dar soluciones a este problema? Calla, canalla! que mi mente va a 1000 y se me ha ocurrido algo aún mejor ¿podéis darme todas las soluciones para este caso?

¡Hala! Ahí queda eso.

Tito Eliatron Dixit


REFERENCIA:
[1] Su, Francis E., et al. tamreF's Last Theorem, Math Fun Facts.

lunes, 11 de octubre de 2010

La forma de las pirámides

El porqué de la forma de las pirámides es muy simple: a medida que se iban construyendo, se acortaba el presupuesto, se acortaba el presupuesto ...

Jaume Perich, dibujante y humorista
Vía La Hoja Volante nº 20 (PDF 3,58Mb)


Comenzamos esta semana con un poquito de humor. ¿Quiere esto decir, que si hubiese habido más dinero, Las Pirámides de Egipto serían Los Prismas de Egipto?

En fin, una curiosa interpretación de la forma geométrica de una pirámide por parte de un genio del humor.

Tito Eliatron Dixit

viernes, 8 de octubre de 2010

VII Carnaval de Matemáticas: 18-24 de Octubre

Otro mes más, ya estamos preparando la nueva edición de nuestro Carnaval de Matemáticas.

En esta ocasión, nuestro amigo Javier Oribe desde El Máquina de Turing, va a ejercer de anfitrión de la edición, por lo que durante la semana del 18 al 24 de Octubre irá recopilando los artículos publicados para hacer el resumen el día 25 de Octubre.

La verdad es que en el artículo en que anuncia la edición está bastante bien explicado cómo va a funcionar esto, así que os remito a su blog, para que sepáis cómo hacerle llegar los artículos.

De todas formas, os recuerdo que siempre podréis colgar los artículos completos o una pequeña reseña tanto en la web del Carnaval (donde, si no tenéis blog y queréis participar, podéis dejar vuestra colaboración completa) como en el Grupo de Facebook del Carnaval.

Como bien dice el título, ésta va a ser la séptima edición. Eso significa que ya se han llevado a cabo 6 ediciones más, de las que os dejo, a continuación, los enlaces a los resúmenes:


Para finalizar, quería recordaros que la finalidad del Carnaval de matemáticas no es más que durante al menos una semana al mes, la blogosfera de habla hispana se llene de artículos sobre matemáticas, y que la gente comience a ver esta ciencia como algo natural y no como un obstáculo.

Además, quiero destacar la gran acogida que esta iniciativa ha tenido, por lo que puede ponerse como ejemplo de convivencia (virtual) entre blogueros de todo el mundo y, en particular, de España e Iberoamérica. Así que querría ofrecer estas líneas a la inbiciativa de Pensamientos JFS en la que nos piden que hoy, 8 de Octubre, expliquemos qué es para nosotros la CONVIVENCIA. Pues para mí, el Carnaval de Matemáticas es un ejemplo de lo que debe ser la convivencia.

Gracias a todos los que habéis participado y todos los que vasi a participar.

Tito Eliatron Dixit