jueves, 28 de octubre de 2010

El segmento de puntos gordos o por qué π=2

No vamos a andarnos con rodeos. Hoy os voy a demostrar que π=2. Así, tal y como suena, contradiciendo a la Biblia, a Euler y a toda la Matemática clásica y moderna. Vamos allá.

Vamos a partir de un segmento de longitud 2. Vamos a suponer que el segmento es el intervalo que va del punto hasta ; para entendernor, el intervalo .

En el estado inicial, vamos a construir la semicircunferencia de centro el origen y de radio 1. La longitud de esta curva es, pues, .



En la primera iteración, vamos a construir 2 semicircunferencias. Divido el intervalo inicial en 2 subintervalos iguales. En el intervalo cosntruyo la semicircunferencia (superior) de centro y radio , mientras que en el intervalo construyo la semicircunferencia (vamos a hacerla inferior, que quedará más bonito) de centro y radio . Como se trata de 2 semicircunferencias, ambas de radio , la longitud de la curva formada por la unión de ambas circunferencias tiene longitud .



En la segunda iteración, cada uno de los intervalos anteriores, los vuelvo a dividir en 2, es decir, me quedo con los intervalos , , y . Sobre el Primero construyo la semicircunferencia superior, sobre el segundo la inferior, sobre el tercero la superior y sobre el cuarto la inferior. En total son 4 semicircunferencias de radio , por lo que la longitud de la unión de estas curvas será .



En la enésima iteración, tendremos subintervalos de igual amplitud y sobre ellos, construimos, alternativamente, las semicircunferencias superior e inferior. Así, en total habrá semicircunferencias de radio y la longitud de la curva resultante será .

En el límite, este proceso desemboca en el propio segmentoinicial , por lo tanto . Pero como cada , se deduce que .

Imponente, ¿verdad? Pues buscad algún error, que en este caso... no lo hay. Entonces... ¿qué es lo que falla? ¿Acaso nos han engañado y el verdadero valor de es 2?

No, ni mucho menos. Vamos a dar 2 (posibles) explicaciones a esta paradoja. La primera de ellas es la que da nombre al artículo, es fácil de entender aunque quizás no sea muy rigurosa; mientras que la segunda explicación es bastante más precisa y técnica pero difícil de entender.

Una posible forma de explicarlo es recurrir a los fractales. El problema es que en matemáticas las cosas no siempre son como parecen y, aunque parece que este proceso acaba desembocando el el propio segmento, la realidad es que el conjunto límite es esencialemente distinto. Se trataría de lo que yo mismo he llamado segmento de puntos gordos. Sería un conjunto de tipo fractal en la que la línea límite recorre el segmento pero de forma ondulada en cada uno de los puntos de la forma (con ). Estos puntos, que se conocen como racionales diádicos, tienen la propiedad de ser densos en el segmento, es decir, que casi casi lo llenan pero no del todo. Por lo tanto el límite no sería el segmento, sino un conjunto mucho más perverso.

ATENCIÓN, VA A COMENZAR UNA EXPLICACIÓN MUY TÉCNICA EN MATEMÁTICAS.

La segunda explicación, mucho más técnica y matemática, tiene que ver con la convergencia uniforme de sucesiones de funciones. Si llamamos a la función que define la línea de semicircunferencias en la etapa , es fácil comprobar que incluso uniformemente, es decir, que como funciones, sí tienden al segmento. El problema es que la convergencia uniforme de funciones, no implica la convergencia uniforme de las derivadas. De hecho, en este caso, en cada etapa estamos introduciendo muchos puntos donde la función no es derivable: allí donde se unen 2 semicircunferencias, la tangente es completamente vertical, por lo que no puede ser derivable. ¿Y qué tiene que ver esto con la longitud? Pues resulta que para calcular la longitud de una curva en un intervalo tan sólo hay que calcular la siguiente integral: . Es decir, para poder hablar de longitudes, hay que poder hablar de derivadas. Y lo que no se tiene es un resultado que asegure que si uniformemente, entonces uniformemente, por lo tanto tampoco podemos esperar que , por mucho que haya convergencias uniformes de las .

FIN DE LA EXPLICACIÓN TÉCNICA EN MATEMÁTICAS.

En resumen, que de una forma o de otras, en matemáticas, las cosas no son siempre como parecen ni parecen lo que en realidad son.

Tito Eliatron Dixit

PD: La falacia/paradoja original, sin solucionar, la encontré en el blog Disgresiones 3.0 gracias a un mensaje privado de @vientoblanko. Yo he modificado un poco la construcción original... más que nada para hacerla un poco más visual y bonita.

15 comentarios:

  1. El tema del que hablas es bastante antiguo, vamos, que al menos yo lo he visto en muchos sitios desde hace tiempo (igual hasta lo he publicado en Gaussianos, no me acuerdo...), pero las explicaciones que das me han encantado. Gran post :).

    Ah, por cierto, a mí sí me ha gustado la explicación técnica :D.

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  2. Me alegro que te hayan gustado las explicaciones técnicas.

    Si tienes algo escrito o si recuerdas alguna fuente EXTRA, no dudes en pasármela, a ver si se puede sacar algo más.

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  3. La misma reacción he tenido yo. Vaya entrada más bonita.

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  4. Pues yo apenas vi el aviso de que comenzaba la explicación técnica lo pasé de largo y no lo vi, asi que no tengo idea de qué habrá dicho allí (y no pienso averiguarlo :P)

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  5. Por cierto... si en vez de poner circunferencias, hacemos lo mismo peo con cuadrados, al final se llega a que 6=2.
    mientras que si lo hacemos con triángulos equiláteros... NO HABRÁ PARADOJA ya que llegaremos a 2=2.

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  6. me recuerda mucho a una paradoja en la que al final sale que raiz de dos es igual a dos, en un triangulo rectangulo isosceles cuyos lados iguales son 1, si haces el recorrido por los lados recorres 2 metros, si vas haciendo una escalera recorriendo por ejemplo media distancia del lado horizontal, media vertial, media horizontal y media vertial sigues recorriendo 2 metros, si iteras indefinidamente al final el camino llega a confundirse con la hipotenusa del trinangulo, que vale raiz de dos

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  7. Si, los clasicos ejemlos de suposiciones inconsientes que estan de mas ;)

    Se me ocurrio una demostracion directa de que tu enunciado es falso. Demostrando que el largo de esa curva aun cuando n tiende a infinito sigue siendo pi:

    DEMOSTRACION MATEMATICA RIGUROSA:
    Concluimos entonces que para cada n definimos la sucesion longitud l(n) de la siguiente manera:

    l(n)=n*r*pi

    pero n=long/(2r)
    con long=b-a=1-(-1)=2 (la longitud del intervalo)
    quedando:
    l(r)=long*r*pi/(2r)
    entonces calculamos la sucesion en funcion de r, cuando r va a 0. Aqui ya vemos que r podria cancelarse de ser distinto de 0. Pero para hacerlo mas lindo imaginamos la sucesion como una funcion y calculamos:

    lim(r->0) de l(r)=long*r*pi/(2r)

    usamos Lhostpital y queda:
    lim(r->0) l(r) = long*pi/2=2*pi/2=pi

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  8. Existe una demostración muy parecida de que 2 = sqrt(2).

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  9. No me he molestado en repetir, todo el argumento para saber si se llega a un resultado similarmente paradójico. Pero de lo que estoy seguro es que la primera división produce dos semicircunferencias de radio un 1/4, NO UN 1/2!!!!.

    PD. lo hago de cabeza ahora $L_n = 2^n frac{\pi}{2^{n+1}} = \pi / n$ y en el limite cero ... pues no, no funciona. Sorry

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  10. Perdón por "spammear". Acabo de darme cuenta de que este ultimo resultado también es bastante raro. Y hacer notar que cada nueva división produce semicircunferencias que son de longitud un medio de las que había antes.

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  11. No estoy de acuerdo con la frase "para poder hablar de longitudes, hay que poder hablar de derivadas". Si una curva no es diferenciable en todos los puntos, hay casos en que dicha curva puede tener longitud finita. Por ejemplo si fijas una de las aproximaciones que citas, esta no es diferenciable en muchisimos puntos (una cantidad finita por cierto) pero aun asi puedes calcular su longitud (que es $pi$). Yo creo que la explicacion es simplemente por la existencia de un conjunto denso donde se aproxima y por la naturaleza fractal de esta.

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  12. Tú lo has dicho "en una cantidad finita", luego en el resto (todos menos unos -muy- pocos" sí es diferenciable.

    Si hubiera una cantidad infinita de puntos de no derivabilidad... para calcular una posible longitud habría que recurrir, como poco a una serie infinita. Y si encima la cantiodad de puntos de no derivabilidad es infinita-no-numerable.... ya va a ser difícil calcular longitudes, ¿no?

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  13. No lo tomes a mal, ni es para armar una discusion, pero insisto, la no derivabilidad (existe esa palabra?:P ) no implica el que no se pueda calcular su longitud.

    Incluso en el ejemplo que diste, la curva limite tiene una longitud finita igual a $\pi$ y dicha curva no es diferenciable en una cantidad infinita de puntos.

    Con esto, voy a que la frase "para poder hablar de longitudes, hay que poder hablar de derivadas", a mi parecer no esta bien.

    Es solo un aporte al tema, que por cierto es interesante .

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  14. No me lo tomo a mal. Sino todo lo contrario: una magnífica forma de discutir de matemáticas.

    Tal y como dices, en la curva que describo, el proceso límite da un valor, pero la realidad da otro. Precisamente poruqe la curva límite es no derivable en muchísimos puntos (todos los diádicos, por lo menos).

    Es probable que este conjunto no tenga longitud, pero sí una medida en una dimensión diferente (no entera) al estilo del conjunto de Cantor.

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Si no comentas, Gauss se comerá una integral.
Y, por favor, respeta a todos con tus opiniones.

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