miércoles, 27 de mayo de 2009

La curva catenaria: cadenas, trenes y arquitectura

Cualquier aficionado a los trenes (eléctricos) sabrá que las catenarias son esos cables que van por encima de la vía del tren y que nutren de electricidad al mismo. Pero lo que quizás no sepan es que el término catenaria es también matemático y que está íntimamente relacionado con las primeras. En este artículo vamos a describir la curva catenaria, su historia y algunas de sus aplicaciones entre las que estarán las catenarias ferroviarias.

Comencemos con un poco de historia. En 1690, uno de los miembros de la más famosa familia matemática de todos los tiempos, Jakob Bernoulli propuso el siguiente problema:
Encontrar la forma que toma una cuerda (o cadena), perfectamente flexible y homogénea, por la acción sólo de su peso, si sus extremos son fijos.
Durante mucho tiempo se creyó que esa forma era la de una parábola; de hecho el propio Galileo hizo tal conjetura. Se parece mucho, pero no lo es; y un joven de 17 años llamado Christiaan Huygens demostró que no era una parábola, aunque no supo precisar qué forma tenía. Fueron, independientemente, Johann Bernoulli, Leibniz y el propio Huygens los que, en 1691, resolvieron el problema.

Como curiosidad relacionada, cabe destacar que la resolución por parte de Johann Bernoulli de este problema planteado por su hermano Jakob fue el origen de la famosa enemistad entre ambos. Jakob lo propuso, pero no tuvo tiempo de dedicarse a él, pues tenía problemas con la Universidad en la que estaba; así que fue Johann, el hermano menor, el que lo pudo resolver, dejando escrito el siguiente párrafo:
Los esfuerzos de mi hermano no tuvieron éxito; por mi parte tuve más suerte, ya que encontré la manera (lo digo sin vanagloriarme, ¿porqué tendría que ocultar la verdad?) de resolver el problema completamente... Es verdad que me costó una noche entera de esfuerzo que hube de robar al descanso...pero a la mañana siguiente, lleno de alegría, corrí a mi hermano que aún estaba luchando miserablemente con este nudo gordiano sin llegar a ninguna parte, siempre pensando, como Galileo, que la catenaria era una parábola. ¡Detente!, !detente!, le dije, no te atormentes más intentando demostrar la identidad de la catenaria y de la parábola, pues esto es totalmente falso.


Pero dejemos a un lado la historia y pasemos a su verdadera formulación. AVISO A NAVEGANTES: esta parte es bastante técnica, si quieres puedes saltártela y recuperar el hilo del post un poco más abajo. Si sigues por aquí te recomiendo que mires el siguiente dibujo de la catenaria:

En él, la catenaria es la curva azul, cuya ecuación, que queremos calcular, será y(x). Para ello vamos a considerar el arco de catenaria que va de O (el punto más bajo de la catenaria) a un punto cualquiera de ella P (sin pérdida de generalidad, vamos a tomarlo en la parte derecha. Las fuerzas implicadas en dicho arco son T(0), la tensión en el origen; T(x), la tensión en el punto P y P(x), el peso del arco de catenaria que va de O a P. Ambas tensiones son tangentes a la curva en O y P respectivamente. Por último a(x) es el ángulo que forma la tensión en x, T(x), respecto de la horizontal.

Para que el sistema esté en equilibrio, hace falta que la suma de las 3 fuerzas implicadas sea 0, por lo tanto
T(0)+T(x)+P(x)=0.
Ahora bien, si nos quedamos con las componentes horizontales y verticales, obtenemos que:
  • Componente Horizontal: T(0)=T(x) cos(a(x)).
  • Componente Vertical: T(x) sen(a(x))=P(x)
Está claro que T(0) es una constante, por lo que podemos despejar y obtener que
T(x)=cte/cos(a(x)).
Por otro lado, el peso es P(x)=masa·gravedad, pero como la cuerda es homogénea, la masa se distribuye proporcionalmente a la longitud, es decir, masa=densidad·longitud. En resumen, como la densidad y la gravedad son constantes, y la longitud del arco de catenaria es L(x)=∫0x ?1+y'(t)2 dt, se tiene que
T(x) sen(a(x))=cte·L(x).
Ahora bien, sustituyendo el valor de T(x), conseguimos que
tan(a(x))=cte·L(x).
Pero la interpretación geométrica del concepto de derivada nos dice que tan(a(x))=y'(x), por lo que tenemos que
y'(x)=cte·L(x).
Por último, como L(x) es una integral, podemos derivar para encontrar la Ecuación Diferencial que define a la catenaria:
y''(x)=cte·?1+y'(x)2
Finalmente basta resolver esta ecuación diferencial en 2 pasos. Primero pasamos la raíz al primer miembro e integramos. Así obtenemos que ArcSenh(y'(x))=cx+d, o lo que es lo mismo, y'(x)=Senh(cx+d). Por último, volvemos a integrar y se obtiene que
y(x)=Cosh(cx+d)+e.
(AVISO A NAVEGANTES: Vuelve a leer aquí) En resumen, la catenaria es, salvo constantes, la función Cosh(x)=(ex+e-x)/2 (coseno hiperbólico).

Ahora que ya sabemos qué ecuación tiene esta apasionante curva, ya sólo nos queda ver sus aplicaciones físicas. Tal y como comenté en la introducción, existen las catenarias ferroviarias. Esos cables que van encima de los trenes reciben este nombre, pero en realidad hay (suele haber) 2 cables. El más bajo, que es (casi) horizontal, es el que lleva la corriente eléctrica. El de arriba, sólo sirve para sostener al de abajo. Éste segundo cable tiene la forma de la catenaria.
Si quieres saber más de las catenarias ferroviarias, puedes consultar el artículo dedicado a las catenarias ferroviarias de la Wikipedia.

Pero la estabilidad de la curva catenaria la hace perfecta para la arquitectura. De hecho un arco con tal forma, será capaz de soportar su propio peso sin sufrir consecuencias. Y de este hecho se dio cuenta un arquitecto español: Antoni Gaudí. Y como ejemplo os dejo una foto de la Sagrada Familia y otra de las Bodegas Güell:
Pero Gaudí no es el único que ha usado esta curva. El finlandés Eero Saarinen también la usó en una de sus obras más impactantes, el arco Gateway:

En fin, como véis una un simple problema sobre cuerdas o cadenas planteado en el siglo XVII, tiene muchísimas aplicaciones a la técnica, al arte y a la arquitectura. Las Matemáticas del pasado aplicadas al presente y, quién sabe, si al futuro.

Tito Eliatron Dixit.



Referencias


Créditos
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