miércoles, 31 de diciembre de 2008

La Taza Sudoku

El pasado puente de la inmaculada hice una mini escapada a Ronda. Allí, en una tienda muy recomendable (creo que estaba al final de la Carrera Espinel) me encontré con esta taza


No sé si lo podéis ver bien, de hecho yo no me fijé en un principio, pero las 2 tazas que se ven tienen sudokus distintos. Al final, no me la compré, pero desde luego que no deja de ser uno de esos objetos curiosos que merecen la pena enseñar en un blog. Incluso podría dedicarle esta foto a Su.Doku.Es, que ya encontraron otro modelo distinto hace un par de años. Incluso hace poco nos mostraron la taza crucigrama.

Bueno, y con esta entrada, despido el año 2008, que para mi ha supuesto la entrada en la blogosfera. Espero que el año que viene, siga habiendo mucho Tito Eliatron por aquí. Feliz año a todos.

Tito Eliatron Dixit.

lunes, 29 de diciembre de 2008

El artículo inesperado

Como algunos ya saben (y si no os lo digo ahora) soy doctor en Matemáticas, por lo tanto, soy una persona totalmente lógica. Así pues, bajo la premisa de que soy totalmente lógico y digno de todo crédito, os hago el siguiente anuncio.
La semana próxima (entre el Lunes y el Domingo) escribiré un artículo sobre este post, que será completamente inesperado para vosotros.

Por inesperado entiendo que el día anterior a que se publique, no podréis deducir, mediante reglas lógicas, que lo publicaré al día siguiente.
¿Cuándo se publicará el artículo?

Tito Eliatron Dixit.

viernes, 26 de diciembre de 2008

Fracciones de Fibonacci

Hoy os traigo una curiosidad numérico matemática, de esas que tanto abundan por los foros científicos, relacionada con la sucesión de Fibonacci y ciertas fracciones.

fracciones y fibonacci

Si os fijáis bien, la primera fracción nos da los 5 primeros términos de la Sucesión de Fibonacci (los números que están en negrita); la segunda fracción, nos proporciona los 10 primeros términos de la sucesión, siempre que agrupemos los decimales de 2 en 2; finalmente, la tercera fracción nos da 15 términos, agrupando los decimales de 3 en 3.

En el artículo(1) de donde he extraído esta curiosidad, nos cuentan porqué ocurre esto y, sobre todo, nos explican que si, de forma análoga, tomamos como 4ª fracción 100000000/99989999, obtendremos 20 términos y así sucesivamente.

Tito Eliatron Dixit


(1)A Magic Trick from Fibonacci (PDF, 58Kb) de James Smoak y Thomas Osler, publicado en la revista The College Mathematics Journal, nº34 (2003), pp. 58-60.

jueves, 25 de diciembre de 2008

Feliz Mate-Navidad

Feliz Navidad


Esta imagen es el Triángulo de Smoak, una ilustración creada por este personaje para una tarjeta de felicitación navideña (si la quieres comprar, prueba en CityCastles). Según sus propias explicaciones, se trata de una representación de los 465 coeficientes del desarrollo del trinomio (a + b +c)29, separados por colores y paridad (los negros y los verdes son los 384 coeficientes pares; los rojos son los 81 coeficientes impares).

Dentro de la tarjeta se puede leer lo siguiente, a lo que el Tito Eliatron se une:

Whatever the terms, it all adds up to Christmath!
Wishing you the happiest ever!

Todos estos términos se unen en una Navidad Matemática, para desearte la mayor de las felicidades


Vía DivulgaMAT

miércoles, 24 de diciembre de 2008

Breves Reseñas de Matemáticos: Henri Poincaré

Tras unas semanas de ausencia, retomamos la serie de Breves Reseñas de Matemáticos para hablar de un matemático frances del siglo XIX muy prolijo en muchas ramas del saber. Henri Poincaré.

Jules Henri Poincaré, nacido en Nancy el 29 de abril de 1854, fue un prestigioso matemático, científico teórico y filósofo de la ciencia. Dicen de él que fue, después de Gauss, el último matemático capaz de entender y contribuir en todos los campos fundamentales de las matemáticas.

Durante 11 años estudió en el Liceo de Nacy, hoy llamado Liceo Henri Poincaré en su honor, donde le llamaban el monstruo de las matemáticas pues ganó varias veces un concurso general entre los mejores estudiantes del centro. Posteriormente ingresó en la Escuela Politécnica donde se graduó en 1875 para continuar sus estudios en la escuela de minas. Trabajando como ingeniero de minas, completó sus estudios de Doctorado bajo la tutela de Charles Hermite en 1879.

Inmediatamente comenzó a trabajar como profesor de matemáticas en la Universidad de Caen, donde se forjó mala fama debido a su, a veces, desorganizado estilo de dar clases. Sin embargo, esto no le impidió conseguir una cátedra en la Sorbona y la Escuela Politécnica, cagos que ostentó hasta su muerte en 1912.

Sus aportaciones matemáticas son gigantescas y van desde la teoría de ecuaciones diferenciales, la teoría de funciones analíticas en variable compleja, la teoría de homotopías, geometría algebraica...

Quizás uno de los problemas más importantes que atacó fue el Problema de los Tres Cuerpos, demostrando el mal planteamiento original y aportando nuevos métodos para su resolución.

Asimismo, el hoy conocido como Hipótesis de Poincaré (antes Conjetura, que establece que la única variedad cerrada y simplemente conexa de dimensión 3 es la esfera) supuso uno de los últimos escándalos en las Matemáticas.

Poincaré realizó además numerosos aportes en diferentes campos de la matemática aplicada, tales como Mecánica celeste, Mecánica de fluidos, Óptica, Electricidad, telegrafía, capilaridad, elasticidad, termodinámica, teoría potencial, mecánica cuántica, Teoría de la Relatividad y cosmología. Algunos de sus trabajos más importantes incluyen los tres volúmenes de Los Nuevos Métodos de la Mecánica Celeste (Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste), publicados entre 1892 y 1899, y Lecciones de mecánica celeste, (Léçons de mécanique céleste, 1905). También escribió numerosas obras de epistemología, propedéutica, metodología y divulgación científica que alcanzaron una gran popularidad, como Ciencia e hipótesis (1901), Ciencia y método (1908) y El valor de la ciencia (1904).

Tito Eliatron Dixit

cf. Biografía de Poincaré en The MacTutor History of Mathematics archive y Henrry Poincaré en Wikipedia.

lunes, 22 de diciembre de 2008

Abstracción

Criticar a los matemáticos por su abstracción es no comprender la situación en absoluto. La abstracción es lo que hace que funcione la matemática.

Ian Stewart en ¿Juega Dios a los dados?
vía Boletín 159 de la RSME


Quizás esta afirmación es demasiado abstracta para algunos. De todas formas, lo sorprendente es que, a veces, la que hoy es abstracción, mañana acaba por convertirse en una realidad física.

Tito Eliatron Dixit.

viernes, 19 de diciembre de 2008

Problema: Optimización de Trenes

El otro día, hablando con un amigo sobre el tren de cercanías, se me ocurrió el siguiente problema de optimización, basado en hechos reales.

En la ciudad de Sevilla tenemos un cercanías circular con doble vía (1 para cada sentido) y 4 paradas (vamos a suponerlas equidistantes). Durante las horas valle (las de menor tránsito de pasajeros), el ayuntamiento dispone sólo 2 trenes en el circuito circular. Parece que la estrategia que siguen es poner los 2 trenes a circular en el mismo sentido pero desde paradas diametralmente opuestas. Sin embargo, me pregunto si no sería más efectivo hacerlos circular cada uno en un sentido distinto. O a lo mejor existe una tercera y mejor estrategia.

Tito Eliatron Dixit.

PD: La optimización se realiza para que el tiempo de espera en una parada sea el menor posible y suponiendo que las velocidades de los trenes es constante y que el tiempo de parada en cada estación de cada tren es siempre el mismo. En condiciones óptimas, vamos.

jueves, 18 de diciembre de 2008

Diagramas de sectores en TVE

Hace algún mes ya, cuando iniciba la andadura este blog, sacamos a la luz cómo los responsables de escribir los datos en los videos del telediario de TVE, no habían estudiado matemáticas. Casi estamos a final de año... y siguen sin estudiar.

En la imagen de arriba (correspondiente a la 2ª Edición del Telediario de TVE del pasado martes 16 de Diciembre de 2008) veis cómo nos ofrecen algunos de los datos extraídos de la 5ª Encuesta de la Asociación de Víctimas del Terrorismo. Se trata de un Diagrama de Sectores o Gráfica Circular, es decir, una representación gráfica mediante una circunferencia, dividida en sectores de diferente color o trama en el que cada sector representa proporcionalmente unos valores estadísticos. Si los valores son porcentajes, entonces el círculo completo representará el 100%.

Pero... sumemos los porcentajes que nos dan: 61%+19%+16%=96%. Y no hay más sectores. ¿Qué ha podido pasar? Pues supongo que algún espabilao habrá decidido omitir el grupo de los NS/NC; o quizás es que en TVE no saben copiar datos.

En fin, que otro WTF más para la cadena pública que pagamos todos.

Tito Eliatron Dixit.

PD: No he podido encontrar la noticia concreta, pero sí he encontrado el vídeo del telediario completo. Dura algo menos de 50 minutos, y esta imagen aparece aproximadamente a los 12 minutos.

miércoles, 17 de diciembre de 2008

El día más corto: ocaso y orto

Hoy no os traigo un artículo sobre matemáticas propiamente dicho (aunque algo habrá), tampoco voy a hablar de poesías o pareados aunque el título del post así lo sugiera. Hoy os traigo una curiosidad (al menos a mi me lo parece) astronómica (mejor dicho astrométrica) sobre el solsticio de invierno, la salida del sol (amanecer u orto) y la puesta de sol (anochecer u ocaso).

¿Sabíais que el día más corto del año no coincide con el día en que anochece antes? Ni siquiera coincide con el día que amanece más tarde. ¿Cómo puede ser esto posible? Tito Eliatron, nos estás engañando.

No, no os engaño. Os pondré un ejemplo concreto, con datos extraídos del Instituto Geográfico Nacional.

En Sevilla, en el Invierno 07/08 el día más corto, que coincide con el Solsticio de Invierno y que debe ser el 21 ó 22 de Diciembre, tuvo lugar entre los días 20 y 24 de Diciembre de 2007 (con un periodo de sol de 9 horas y 35 minutos). Sin embargo, el día que anocheció antes (a las 18:06), fue entre el 1 y el 12 de Diciembre (la tradición popular dice que el día en que anochece antes es el 13 de Diciembre, Santa Lucía, patrona de los ciegos); mientras que el día que amaneció más tarde (a las 8:39) ocurrió entre el 3 y el 9 de Enero de 2008 (de nuevo, el folklore dice que este día es el 6 de Enero, curiosamente la noche en que los Reyes Magos han de repartir sus juguetes, va a ser por esto que nunca los podemos ver).

A la vista de estos datos, alguien se podría preguntar ¿esto qué es lo que es? ¿Cómo puede ser esto posible? Bueno pues aquí entra en juego las matemáticas y el cálculo en particular. Resulta que el momento del ocaso y el momento del orto pueden modelizarse mediante funciones sinusoidales (senos y cosenos, para entendernos). Sería como si la función ocaso fuese f(t)=sen(t)+2 y la función orto fuese g(t)=cos(t)+1. Algo parecido a lo que tenéis en el dibujo de aquí abajo.


Claramente el mínimo de la función OCASO (es decir, el día que anochece antes) y el máximo de la función ORTO (el día que amanece más tarde) no coinciden, y ni siquiera coinciden con el punto en que la distancia del OCASO al ORTO es mínima (el día más corto del año).

En efecto, con las funciones que hemos tomado (evidentemente no son las reales, sino que es una modelización hecha por mí) el mínimo de la función OCASO ocurre para t=3π/2 (basta comprobar que f'(t)=cos(t)=0 cuando t=π/2,3π/2; y que f''(3π/2)=-sen(3π/2)=1>0). Por otro lado, el máximo de la función ORTO ocurre para t=2π (en efecto, g'(t)=-sen(t)=0 cuando t=π,2π; y g''(2π)=-cos(2π)=-1<0). Finalmente, el día más corto se correspondería con el mínimo de la función F(t)=f(t)-g(t)=sen(t)-cos(t)+1, que se alcanza para t=7π/4 (porque F'(t)=cos(t)+sen(t)=0 siempre que t=3π/4,7π/4, y F''(7π/4)=cos(7π/4)-sen(7π/4)=√2>0).

Por lo tanto tenemos que
min(OCASO)=3π/2<min(DIA)=7π/4<max(ORTO)=2π


Así que ya saben, si en las próximas Navidades queréis hacer alguna pregunta trampa preguntad (valga la redundancia) qué día anocheció antes o cuando amanecerá más tarde. Seguro que os responden a las dos cuestiones que el 21 de Diciembre. Y vosotros sabéis que eso no es así.

Tito Eliatron Dixit.

PD: La (primera) foto está extraída de la Wikipedia, que a su vez la extrajo de la NASA.

lunes, 15 de diciembre de 2008

Lógica matemática

Y la lógica de las matemáticas, privada de los vínculos con el mundo, se reflejó, se expresó, se encarnó en una teoría física real
Vasili Grossman (Vida y destino)
vía Boletín 162 de la RSME


El viernes pasado os hablé de la Armonía fractal en Doñana y las marismas; en Gaussianos, nos dijeron que E8 podría contener una teoría unificada del Universo... ¿hay por ahí algún otro ejemplo?

Tito Eliatron Dixit.

viernes, 12 de diciembre de 2008

Armonía fractal en Doñana y las marismas

Lo que véis en la foto bien podría ser un fractal, pero no lo es. Se trata la Isla de Enmedio, en el parque de Doñana, Huelva. La fotografía es obra del fotógrafo onubense Héctor Garrido y forma parte de la exposición itinerante Armonia fractal de Doñana y las marismas, iniciativa del CSIC a través de la Estación Biológica de Doñana.

Se trata de una magnífica colección de fotografías de Doñana y las marismas de Huelva (todas ellas obras de Héctor Garrido) cuyas formas naturales acercan al visitante al mundo de la geometría fractal. La exposición, de carácter divulgativo, está actualmente en Sevilla en el Pabellón de Perú y permanecerá allí hasta el próximo 10 de Febrero de 2009.

Es una oportunidad de poder comprobar cómo el mundo de las matemáticas y la naturaleza pueden llegar a compenetrarse de tal forma que, a veces, no es posible distinguir el objeto matemático de la realidad. En este caso, las Matemáticas sí que tienen muchas aplicaciones. Y como colofón, os dejo un vídeo con todas las fotografías de la exposición.



Tito Eliatron Dixit.

miércoles, 10 de diciembre de 2008

Estructura y aleatoriedad en los números primos (Parte 2)

Tal y como os prometí, vamos a continuar hoy el resumen de la charla de Terry Tao. Os recominedo que, antes de continuar leyendo, os paséis por la primera parte del resumen.

Ya hemos visto cómo desde la antigüedad ya se conocían los primos y algunas de sus propiedades fundamentales. También hemos visto sus aplicaciones a la crfiptografía y las ideas de cómo demostrar algunos de los más clásicos resultados.

Pero en los números primos, no todo se conoce. Por ejemplo, Vinogradov demostró en 1937 que todo número impar suficientemente grande, se puede expresar como la suma de 3 primos (hecho ya conjeturado en su momento por Gauss), de hecho, en 2002 Liu y Wang establecieron que si n>101346 es cierto, mientras que en 1998, Saouter comprobó que también es cierto si n<1020. Demostrar que es cierto para cualquier número impar, supone demostrar la Conjetura Débil de Goldbach, hecho por este matemático en 1742.

Otro de los grandes problemas abiertos concerniente a los números primos es la Conjetura de los Primos Gemelos, que establece que existen infinitos números primos p, tales que p+2 también es primo, y que data de ca. 300 a.C. Actualmente, los primos gemelos más grandes que se conocen son 2003663613x2195000±1. Datan de 2007, fueron calculados por Vautier y otros y tienen más de 58000 dígitos.

Aunque nadie ha sido aún capaz de demostrar esta conjetura, lo que sí se ha demostrado (Chen, 1966) es que existen infinitos números primos p, tales que p+2 o bien es primo o bien es el producto de 2 primos, es decir, que el segundo elemento del par, si no es primo, poco le falta.

Hasta ahora hemos visto cómo los primos se distribuyen asintóticamente, cómo se forman, algunas de las propiedades más conocidas y las conjeturas más famosas. Pero hablar de números primos y Terry Tao, es hablar de su famoso teorema, que Terry nos dejó para el final. En 2004, junto con Ben Green, Tao demostró el siguiente teorema que, junto con otras investigaciones de gran importancia, supuso la concesión de la Medalla Fields en 2006:
Existen progresiones aritméticas arbitrariamente grandes formada exclusivamente con números primos.
La idea de la demostración consiste, según su propio autor, en dividir los primos en 2 partes, una estructurada y otra pseudo-aleatoria y comprobar que en cada una de ellas, podemos encontrar progresiones aritméticas.

Pero este no es el único resultado de Tao concerniente a los primos. En el campo de los números complejos, podemos considerar el equivalente a los enteros Z[i] que serían números complejos de la forma p+iq con p,q∈Z. Pues bien, los elementos primos de este conjunto se denominan Primos de Gauss y se sabe que p+iq es un primo de Gauss si y sólo si:

  • p ó q es cero, y el valor absoluto del otro es primo de la forma 4n+3

  • p y q son no nulos y p2+q2 es primo.
A continuación os dejo un dibujo de cómo se distribuyen estos números en el plano complejo.

Pues bien, en 2005, Tao demostró que dada una constelación de cualquier forma (es decir, una cantidad finita de puntos con ciertas condiciones), es posible girar, trasladar y dilatar esta figura para que todos los vértices sean Primos de Gauss. En otras palabras, si los Primos de Gauss fueran las estrellas del cielo, cualquier forma que pensemos puede se encontrada en el firmamento.

Con este curioso resultado, Tao concluyó su magnífica charla y el distinguido le brindó un sonoro aplauso al más puro estilo sevillano. Para mi fue un gran honor poder escucharle y, después, conocerle, hablar (poco) con él y hacerme la foto que ilustra el inicio de este post. Espero que se me pegue aunque sea la milésima parte de la inteligencia de este matemático cuya humilde apariencia es la pura realidad. Una Medalla Fields como matemático y como persona.

Tito Eliatron Dixit.

A la Parte 1.

lunes, 8 de diciembre de 2008

Estructura y aleatoriedad en los números primos (Parte 1)


Hoy lunes no os traigo una cita matemática, lo dejaremos para la próxima ya. Como es fiesta, os traigo un pequeño regalito: la primera parte del resumen de la conferencia de Terry Tao (él prefiere que lo llamen Terry a Terence) del pasado jueves.

La conferencia comenzó con 20 minutos de retraso, pero no por culpa de Tao, que estaba allí con 1 hora de antelación, sino de las autoridades. Lo primero que nos mostró fue la definición de número primo:
Un número primo es cualquier número natural mayor que 1, que no se puede factorizar como producto de 2 naturales más pequeños.
Queda claro con esta definición, que el 1 no puede ser número primo.

Posteriormente, repasó los orígenes de los primos y los resultados clásicos, como el Teorema Fundamental de la Aritmética (ca. 300 a.C.), que nos dice que cualquier número natural se puede expresar de forma única (salvo reordenamientos) como el producto de primos; o el Teorema de Euclides (ca. 300 a.C.) que establece la infinitud de los números primos. De este teorema nos dio la demostración del propio Euclides. Gracias a estos teoremas, se puede decirr que los números primos son los átomos del producto de enteros, pero es oro todo lo que reluce. El Teorema de Euclides, por ejemplo, no nos habla de la distribución de los primos, mientras que el Teorema Fundamental de la Aritmética nos dice que cualquier número es factorizable, pero no nos dice cómo. De hecho, para números de más de 200 dígitos, la factorización no es factible en un tiempo razonable: nacen los fundamentos de la criptografía.

Para ejemplificar este hecho, nos mostró el clásico ejemplo de Alicia y Bob. Hoy día se utiliza una versión mejorada de este sistema, el Sistema de encriptado de Massey-Omura.

La seguridad de estos sistemas, parece garantizada, pero es sólo una conjetura, estrechamente relacionada con el problema P=NP

Hasta ahora, parece que los números primos presentan una aleatoriedad local, pues no sabemos cómo se distribuyen, ni siquiera sabemos la fórmula exacta del n-ésimo número primo. Sin embargo, en 1798 Gauss y Legendre conjeturaron una distribución asintótica de los números primos que fue demostrada por Hadamard y de-la-Vallè-Poussin en 1896. Se trata del Teorema de los Números primos y que asegura que el n-ésimo número primo se comporta aproximadamente igual que el factor n·log(n). Tao nos comentaba que como la charla pretendía ser divulgativa, demostrar este teorema era excesivo; pero sí nos dio unas ideas de la demostración que la llamó Escuchar la Música de los Primos.

En una primera etapa, se "toca" una onda sonora que es fuerte en los primos y baja fuera de ellos (se trata de la llamada Función de Mangoldt). En una segunda etapa, se "escucha" esta "música de los primos" a través de una variante de la transformada de Fourier (la Transformada de Mellin). Finalmente, nos damos cuenta que hay ciertas "notas" que nunca aparecen en la melodía, lo que nos da la idea final de la distribución de los primos.

Este miércoles, tendréis la segunda parte de este resumen, en el que hablaremos de algunos problemas (abiertos y cerrados) sobre los números primos, incluyendo el Teorema de Green-Tao.

Tito Eliatron Dixit.

N. de A.: Las fotos utilizadas en esta entrada fueron realizadas por mi mismo, pero el contenido es obra de Terence Tao.

A la Parte 2

viernes, 5 de diciembre de 2008

Todo aprobado es un sueño

Hoy os traigo una genial parodia de unos aspirantes a Ingeniero en la Universidad de Sevilla sobre la revisión de un examen. Os advierto: Not Safe for Work.



Vía Meneame. El texto de tan particular obra, está al completo en la fuente original: Mardolo's Tower.

Tito Eliatron Dixit.

jueves, 4 de diciembre de 2008

Conferencia de Terence Tao: Cambio de Lugar

Según nos ha comunicado la organización (IMUS), la conferencia del Prof. Dr. Terence Tao sobre Estructura y azar en los números primos tendrá lugar en el Salón de Actos de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla a las 19:00h.

Tito Eliatron Dixit.

miércoles, 3 de diciembre de 2008

Callejero Matemático Español (II)

Hoy vamos a continuar la serie que empezamos con Callejero Matemático Español (I). En este caso, nos vamos a centrar en la ciudad de BArcelona, donde encontramos varias calles dedicadas a matemáticos.

La primera calle que os voy a presentar está dedicada a Renè Descartes. Ya en su momento, hablamos un poco de él en la serie Breves Reseñas de Matemáticos, así que sólo recordar que es un filósofo y matemático francés del siglo XVI y que su mayor aportación al mundo de las matemáticas son el sistema de representación de puntos que lleva su nombre: las coordenadas cartesianas.

Esta calle está muy cerca de la Vía Augusta y de la Casa Vicens de Gaudí:

Ver mapa más grande.

Curiosamente, esta misma calle se corta con otra dedicada a un gran pedagogo y matemático español, nacido en Gerona en 1911, exhiliado a Buenos Aires donde murió en 2001. Me refiero a Lluis Santaló. Podríamos decir que estamos ante la esquina matemática en BArcelona.

Ver mapa más grande

Pero es que si avanzamos por la calle Santaló, de nuevo nos llevamos la sorpresa de toparnos con otra calle científica. A la altura del 142, esta calle se cruza con la dedicada a un Astrónomo polaco del siglo XVI (en aquel entonces, podría ser perfectamente un matemático): Nicolás Copérnico.

Ver mapa más grande

Para finalizar, deciros que la zona donde están estas 3 calles, es muy prolífica en nombres científicos y culturales (calle Platón, MArco Aurelio, Ramón Muntaner...). Muchas otras ciudades deberían tomar este ejemplo y alejar la política de los callejeros.

Tito Eliatron Dixit.

martes, 2 de diciembre de 2008

Gran Concurso de Literatura Irracional: Mis Relatos.

Ya hemos hablado en este blog sobre el Gran concurso de Literatura Irracional organizado por Espejo Lúdico.

Pues bien, una vez cerrado el plazo de envío, han hecho público los relatos presentados a concurso, muchos y muy buenos.

Yo, como no podía ser menos, también he aportado mi pequeños granito de arena y he participado con 2 mini-relatos en este concurso. Con el visto bueno de Juan Luis Roldán (autor del blog), os presento aquí mis aportaciones.

El primer relato fue presentado en la categoría RAÍZ (√2: 1 4 1 4 2 1 3 5 6 2 3 7 3 9 5 4 8 8 1 6 ) y se trata del número VII (pág. 1). Más que un relato, es un pequeño poema libre sobre la fuerza de voluntad:
O todo o nada.
Ve a por todas.
Avanza si las fuerzas son adecuadas.
Nunca seas, guerrero, lágrimas o llanto.

El segundo de los relatos, no es completamente mío; se trata de una colaboración con un buen amigo que prefiere quedar en el anonimato (y así lo respeto). Esta vez, lo presentamos bajo la categoría PHI (φ: 1 6 1 8 3 3 9 8 8 7 4 9 8 9 4 8 4 8 2 4) y se trata del número LVII (pág. 6). Se trata de un relato, con ciertos toques de humor para adultos:
Y cópula y fornicio son muy necesaria práctica, deleites humanos nada incómodos. Puritano, ¿disientes? Come nísperos, cena sándwich de atún.

No sé si al final, alguno de los 2 estarán entre los ganadores o finalistas o lo que sea, pero desde luego ha sido un orgullo participar en este concurso.

Gracias a Juan Luis y a Espejo Lúdico.

Tito Eliatron Dixit.

lunes, 1 de diciembre de 2008

Dios y los números primos

Quizás Dios no juegue a los dados con el universo, pero algo raro ocurre con los números primos.

Paul Erdos
vía Terence Tao


Recordaros que este Jueves estará Terence Tao en Sevilla para dictar una conferencia sobre "Estructura y azar en los números primos".

Es una oportunidad para conocer a un (en mi caso, otro) Medalla Fields.

Tito Eliatron Dixit.

viernes, 28 de noviembre de 2008

Momentos matemáticos

Mathematical moments es un proyecto de la American Mathematical Society (el -salvando las distancias- equivalente de la Real Sociedad Matemática Española), que consiste en la publicación de posters divulgativos en los que se trata de
promover la apreciación y el conocimiento del papel que las matemáticas desempeñan en la ciencia, la naturaleza, la tecnología y la cultura.

La mayoría de posters está sólo en inglés, aunque algunos están traducidos a otros idiomas, incluído el español. Incluso podemos encontrar podcasts sobre algunos temas.

Uno de los posters traducidos que más ha llamado mi atención es el titulado Caminos Audaces. En él se habla de cómo las matemáticas, en este caso a través del cálculo, la
trigonometría y el análisis vectorial, puede ayudar a encontrat caminos en el espacio en el que las fuerzas gravitatorias ayuden en la navegación.

Bonus Track: En la revista digital Matematicalia, la última sección de cada número consiste en la traducción de algunos de estos posters de momentos matemáticos.

Tito Eliatron Dixit

miércoles, 26 de noviembre de 2008

Puntos de Inflexión y periodismo deportivo

Hace unos días, escuchando noticias deportivas en la radio (el resumen de la jornada futbolera, vamos), se oyó la siguiente frase:
esperemos que esta victoria suponga un punto de inflexión en la trayectoria del equipo.

¿Qué tiene de malo esta expresión? Si es de lo más habitual... Pues si mi equipo fuera mal y de pronto ganara... no querría que esa victoria fuese un punto de inflexión. Vamos a explicarlo desde el punto de vista matemático.

Partamos de la gráfica de una función continua y derivable y=f(x) cualquiera (cuya gráfica pude representar la trayectoria de este equipo) y vamos a definir un par de conceptos. Decimos que la función f(x) es convexa en un punto a, si la tangente a la curva en dicho punto está por debajo de la función, en los alrededores del punto. Pero quizás se vea mejor en el siguiente dibujo:

Análogamente, si la gráfica está por debajo de la tangente, la función se dirá que es cóncava en a, como en el siguiente dibujo:

Si la función de partida es 2 veces derivable, entonces saber cuándo es cóncava y cuando convexa es tan fácil como derivar 2 veces y estudiar el signo de la derivada segunda. Si f''(a)>0 entonces la función es convexa en a; por el contrario, si f''(a)<0, entonces la función en cóncava en a.

Aunque con esto de los nombres de cóncavo y convexo, los matemáticos no acabamos de ponernos de acuerdo (en algunos libros se define así, y en otros justo al revés), parece que esta definición encaja mejor con otros conceptos avanzados de matemáticas. Además, a mi me lo enseñaron así y asi lo enseño yo.

Ahora que ya sabemos lo que es una función cóncava y convexa, defirnir Punto de Inflexión es tan sencillo como decir que es un punto donde la función pasa de cóncava a convexa o viceversa, es decir, un punto donde la gráfica de la función atraviesa la recta tangente:


Como podéis observar en el dibujo (y es prácticamente lo que suele ocurrir), un punto de inflexión en una curva, no hace que una trayectoria descendente pase a ser ascendente (esto, más bien, se llama mínimo relativo), como se daba a entender en el comentario con el que empecé la entrada. Más bien hace que la trayectoria descendente, siga siendo descendente, y la ascendente siga ascendiendo (por norma general). Probablemente la frase matemáticamente correcta sería
esperemos que esta victoria suponga un mínimo (relativo) en la trayectoria del equipo.

Pero claro, para esto, los periodistas deportivos tendrían que leer, por ejemplo, este post. ¿Alguien se lo quiere hacer llegar a los de El Larguero o Radio Marca?

Tito Eliatron Dixit.

martes, 25 de noviembre de 2008

¿Qué tiene en común...?

¿Qué tiene en común Claude Louis Mathieu, Ernst Schröder, Evelyn Nelson y el que les habla (bueno, el que escribe)? Pues, en primer lugar, que todos son matemáticos.

Claude Louis Mathieu fue un ingeniero y matemático francés nacido en 1783 que desarrolló buena parte de su carrera entre el Bureau des Longitudes, uno de cuyos miembros fundadores fue Joseph Louis Lagrange; el Collège de France en París y la Escuela Politécnica también de París. Durante muchos años, fue el editor del Anuario del Bureau des Longitudes y también publicó la Historia de la Astronomía del siglo XVIII.



Ernst Schröder nación en Mannheim (Alemania) en 1841 y sus aportaciones a las matemáticas se centran en el álgebra, la teoría de conjuntos y la lógica. En Lecciones sobre álgebra y lógica, largo trabajo publicado entre 1890 y 1905, establece una visión sobre la lógica algebraica y sienta las bases para que, posteriormente, Tarski desarrolle la teoría algebraica moderna.



Por su parte, Evelyn Nelson fue una matemática canadiense de familia rusa nacida en 1943. Su carrera matemática se centró, en primer lugar, en el estudio de semigrupos de operadores y clases de ecuaciones en álgebras de operadores, para pasar luego a aplicar estos conocimientos a la teoría de la computación.




Y, finalmente, yo... sólo soy un simple aspirante a matemático que aún no ha hecho apenas aportaciones a la Matemática. Pero algún día espero poder aparecer junto a estos tres matemáticos. La primera condición para estar en esa página (y en la misma lista que ellos) ya la cumplo. De hecho hoy cumplo.

Tito Eliatron Dixit.

lunes, 24 de noviembre de 2008

Partituras matemáticas

Es construyendo estructuras matemáticas como los matemáticos encuentran el mismo tipo de belleza que otros encuentran en la música o en la arquitectura. Pero hay una gran diferencia: la música de Mozart puede ser disfrutada incluso sin conocer la teoría musical. Sin embargo, la belleza de las estructuras matemáticas no se puede apreciar sin entender las fórmulas: sólo los matemáticos pueden leer las partituras matemáticas y tocar esa música en sus corazones.
Kiyoshi Itô
Vía El País


Kiyoshi Itô fue en 2006, durante el Congreso Internacional de Matemáticas de Madrid, el primer premio Gauss a las aplicaciones matemáticas, por sus aportaciones a las Ecuaciones Diferenciales Estocásticas. Falleció el pasado 10 de Noviembre en Kyoto, a los 93 años de edad, dejando para la posteridad más de 100 artículos publicados en las más prestigiosas revistas científicas.

Respecto a su cita, para mi es absolutamente cierta. La Matemática es un arte, que no todos podemos dominar. Podremos hacer canciones (artículos), pero sólo los elegidos podrán componer grandes óperas. Al menos me conformo con intentar entender a los grandes.

Tito Eliatron Dixit.

viernes, 21 de noviembre de 2008

Mi amigo imaginario


-Hey Chicos, ¿Queréis conocer a mi nuevo amigo?

- Vale!, pero ¿dónde está?
- Está justo aquí

- ¿Porqué nadie más puede verte?
- Ni idea!


Vía teleñecos y visto como firma en un foro (gracias, Cazador de Sombras).

Tito Eliatron Dixit

jueves, 20 de noviembre de 2008

Terence Tao: Una medalla Fields en Sevilla

Según John Garnett
Terence Tao es el Mozart de las matemáticas, pero sin sus problemas de personalidad.
Así define este catedrático de matemáticas de la UCLA a Terry Tao, australiano (de obvio origen chino) de 33 años, niño prodigio de las matemáticas y medalla Fields (el equivalente a premio Nobel de Matemáticas) en 2006. Desde los 9 años, recibió clases de nivel universitario en Matemáticas y a la edad de 10 años participó, por primera vez, en la Olimpiada Internacional de Matemática, ganando una medalla de bronce, para en los siguientes años obtener la de plata y oro. Tras contaros esto, el echo de que con 20 años ya obtuviera el grado de Doctor y con 24 una cátedra, parece poca cosa.

Terence Tao, como dice él mismo en su web, está interesado en un amplio número de áreas matemáticas, como, por ejemplo, análisis armónico, ecuaciones en derivadas parciales, combinatoria geométrica, combinatoria aritmética, teoría analítica de números... Pero quizás por lo que ha sido más conocido es por lo que hoy se conoce como teorema de Green-Tao, demostrado en 2004 en un artículo conjunto con Ben Green, y que afirma grosso modo que existen progresiones aritméticas de números primos arbitrariamente grandes.

Pues bien, según he podido leer en la página del IMUS (ya podrían mejorar un poco la página web), Terence Tao estará en Sevilla el próximo Jueves día 4 de diciembre, para dictar la conferencia Structure and randomness in the prime numbers (Estructura y azar en los números primos) en el paraninfo de la Universidad (rectorado) a las 19:00h. Me parece una oportunidad única, no sólo para conocer a este insigne matemático, sino para aprender algo más sobre la estructura de los números primos, de mano de uno de los grandes. Además entre el 2 y el 5 de diciembre, participará en el evento Conference on Harmonic Analysis and Related Topics organizado por los profesores Carlos Pérez y Rafael Espínola del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Sevilla (es mi departamento!!!!).

Desde aquí os animo a todos a venir (otra vez) a Sevilla para disfrutar de la ciudad, sus tapas, sus conferencias y sus matemáticas.

Tito Eliatron Dixit.

PD: No dejen de visitar el blog de investigación de Terry Tao.

miércoles, 19 de noviembre de 2008

Turismo Matemático


Gracias a una entrada de La Cartoteca, me topo de bruces con un interesantísimo proyecto: Mathourism: A mathematical journey around the world. Se trata de una recopilación base de datos de lugares de interés turístico-matemático en todo el mundo ordenados por países, nombre y siglo.

En España, por ejemplo, tenemos 7 puntos de interés en Madrid, Zaragoza, Barcelona y las ISlas Baleares. Por supuesto que el famoso cuadrado mágico de la sagrada familia es uno de los incluídos, pero el que más me ha sorprendido, por inesperado (torpe ignorancia la mía) es la imagen que se incluye en la anotación.

Por lo visto, tal y como podemos leer en este PDF, en abril de 2007 con motivo del 300º aniversario del nacimiento de Euler, se colocó en el escalón 1707 del Barranco de Biniaraix, una piedra en la que está inscrita la famosa Identidad de Euler.

Desde este humilde blog, me gustaría animaros a todos a aportar más lugares de interés a este proyecto, en particular, de España. Yo, por mi parte, en cuanto encuentre alguno, lo haré.

Tito Eliatron Dixit.

lunes, 17 de noviembre de 2008

El axioma de elección

Seleccionar un calcetín de cada uno de infinitos pares de calcetines requiere el Axioma de Elección, pero para zapatos el axioma no se necesita.
Bertrand Russell
Vía: La Hoja Volante

Gracias a esta frase, creo que acabo de comprender claramente las implicaciones del axioma de elección.
Por cierto, para el que no lo conozca, el Axioma de Elección viene a decir que si tenemos un conjunto no vacío, siempre podemos elegir un elemento de cada uno de sus subconjuntos.
Claro, si el conjunto original es finito, todo es ponerse a elegir. Pero ¿y si el conjunto original es infinito? ¿acabaremos alguna vez de elegir? La idea es que el Axioma de Elección nos permite acabar el proceso de elección.
Para ilustrarlo mejor, os recomiendo el artículo El Axioma de Elección de la hoja volante, de donde he elegido (usando el Axioma de elección) la cita de hoy.

Tito Eliatron Dixit.

sábado, 15 de noviembre de 2008

San Alberto Magno

Hoy se celebra el día de San Alberto Magno, y en todas las Facultades de Ciencias, se suspenden las clases por este motivo (bueno, este año se suspendieron ayer). Pero... ¿quién es este personaje?.

Alberto, apodado el Grande o Magno por sus coetáneos, nació en Lauingen (Alemania, cerca del Danubio) en 1193. Fue un destacado filósofo y teólogo, lo más parecido a un científico en el medievo. Estudió en Padua y París, donde se doctoró en 1245. Ingresó en la Orden de Predicadores y ejerció como profesor en algunas de las pocas universidades de aquel entonces: París, donde recibió su apodo y Colonia, donde fue el primer rector.

Más que científico fue un recopilador del saber previo. Tradujo diversas obras de filósofos, teólogos, matemáticos y médicos grecorromanos, musulmanes y judíos, que sirvieron a su discípulo Tomás de Aquino para realizar su famosa Summa Theologiae. En total, sus escritos suman la cantidad de 38 volúmenes, donde habla, por ejemplo, de lógica, metafísica, matemáticas, ética y ciencias naturales. Supongo que por estos motivos hoy es el patrón de los estudiantes de ciencias.

Murió el 15 de noviembre de 1280, mientras conversaba con sus hermanos en el convento. Beatificado en 1622 y nombrado Doctor de la Iglesia (digamos que el máximo grado eclesiástico, superior al de santo) en 1931.

Tito Eliatron Dixit.

viernes, 14 de noviembre de 2008

Teorema Fundamental del Dibujo Técnico

A raíz de una anotación de Ciencia en el XXI sobre el Teorema del Punto Gordo he recordado un viejo chascarrillo (bonita palabra) que hacíamos un amigo y yo cunado estudiábamos dibujo técnico: El Teorema Fundamental del Dibujo Técnico, que dice:
Por tres puntos no alineados, siempre pasa una recta, siempre que los puntos sean lo suficientemente gordos, y la recta lo suficientemente astuta.


Este teorema es muy útil para resolver, de una forma óptima, el Problema de Los Nueve Puntos. ¿Qué dice este problema? Dice lo siguiente.

Dados nueve puntos formando una cuadrícula como en el dibujo
unirlos con el menor número de rectas posibles, sin levantar "el lápiz del papel" (las rectas han de cortarse) y pasando una única vez por cada punto de la cuadrícula.

La solución (bueno, una de ellas) es hacerlo con 4 líneas de la siguiente forma:


Pero utilizando el TFDT, podemo optimizar la solución:


Claro que para ello, hay que agrandar un poco los puntos, ¿no?

Tito Eliatron Dixit.

Actualización: Arreglado el fondo de las imágenes para su correcta visualización.

miércoles, 12 de noviembre de 2008

Las dos torres

No, no voy a hablar hoy de El Señor de los Anillos (aunque me encantaría). Tampoco voy a hablar de ajedrez (aunque me gustaría poder hablar, ya que conozco lo básico).

Voy a hablar de sucesiones (que de eso sé un poco). En particular de una sucesión especial que, en inglés, se llama sucesión power tower. Esta sucesión se define por recurrecia de la siguiente forma:

El término general de esta sucesión nos dirá el porqué del nombre:
donde la raíz aparece n-veces en el término enésimo.

Tiene límite esta sucesión? Vamos a probar que sí. Como √2>1, es fácil darse cuenta que la sucesión es monótona creciente. Además, por inducción, se prueba que an<2 para cualquier n≥1.

En efecto, el caso n=1 es evidente, poruqe √2<2.
Supongamos que an<2;. Entonces, an+1=(√2)an<(√2)2=2.

Por tanto tenemos que (an)n es una sucesión creciente y acotada superiormente, luego tiene límite. Llamémosle L. ¿Quién es ese límite?

Para ello, basta tomar límite en la definición por recurrecia de la solución y conseguimos la ecuación: L=(√2)L. Esta ecuación tiene a L=2 y L=4 como soluciones fáciles, pero además, es facil comprobar que son las unicas soluciones. Por tanto como an<2, debe ser L≤2. Así que la ´´unica opción es que L=2.

Por tanto esta sucesión es convergente a 2.

Pero ¿y si cambiamos de punto inicial? Una opción es poner como término inicial a1=y1/y con y>0. Entonces, podéis comprobar que sigue teniendo límite esta sucesión y su límite es.... y.

Pero todavía hay más. Si ponemos como primer término a1=a, entonces la sucesión es convergente si y sólo si 0.065989≅e-e≤a≤e1/e≅1.444667, en cuyo caso el límite es la menor solución de la ecuación ax=x (conf. PlanetMath).

Tito Eliatron Dixit.

lunes, 10 de noviembre de 2008

Esto es trivial

Quien no vea trivial que

no puede llamarse matemático

Ahora no encuentro el autor de esta cita, aunque a mi me la han contado varios profesores.

Por cierto, para los que no lo vean trivial, os dejo una de las demostraciones más sencillas que conozco:

Llamemos I a la integral. Como la función f(x)=e-x2 es par, entonces
Vamos a elevar al cuadrado... y a cambiar el índice mudo en una de las integrales que nos queda
Hasta ahora hemos usado conocimientos de análisis de 1 variable. Demos un paso más y escribamos la igualdad anterior como una integral doble
¿Y ahora qué? pues hacemos un cambio de variables. Cambiamos de coordenadas cartesianas (x,y) a coordenadas polares (r,θ), de forma que x=r·cos(θ), y=r·sen(θ). Así, la igualdad queda:
Y ahora... deshacemos el camino que hemos hecho, es decir, volvemos a expresar la integral doble, como producto de 2 integrales (es fácil, pues la variable θ no aparece):
y en el punto que estamos, creo que todos veis que I2, con lo que basta ver que la integral I ha de ser positiva para deducir su valor.

Por cierto... esta integral, se llama Integral de Gauss

Tito Eliatron Dixit.

viernes, 7 de noviembre de 2008

QUIFIMAT 2008


Durante los próximos 10 a 21 de Noviembre, y dentro del marco de la Semana de la Ciencia 2008, la Universidad de Sevilla, y más concretamente las Facultades de Matemáticas (a la que pertenezco), Química y Física organizan una acción de divulgación de las ciencias en el ámbito escolar: QUIFIMAT 2008.

Se trata de una actividad principalmente destinada a alumnos de secundaria y consiste en unas jornadas de puertas abiertas, en la que los alumnos visitan sucesivamente las tres facultades y en cada una de ellas asisten a diversos experimentos y actividades relacionados con las tres ciencias.

En la Facultad de Matemáticas, por ejemplo, los alumnos podrán visitar, en la sala de estudios, una exposición sobre fotografía matemática, diversos pósters divulgativos, presentaciones interactivas, charlas divulgativas,... Además, habrá audiovisuales sobre la facultad de matemáticas y los estudios de estadística y matemáticas. Supongo que en el resto de facultades implicadas se harán actividades similares.

En difinitiva, se trata de una oportunidad única para que todos vean que la ciencia está al alcance de cualquiera que tenga interés.

Tito Eliatron Dixit

miércoles, 5 de noviembre de 2008

Breves Reseñas de Matemáticos: Karl Weierstrass

Volvemos hoy a la serie de Breves Reseñas de Matemáticos, que la hemos tenido algo abandonada. El invitado de hoy es un viejo conocido de prácticamente todos los alumnos que hayan dado un curso serio de análisis matemático de 1 variable: Karl Weierstrass.

Karl Weierstrass fue un matemático alemán. Hijo de un oficial a las órdenes de Napoleón, Karl era el mayor de cuatro hermanos. Con catorce años, Karl fue aceptado en la escuela católica de enseñanza secundaria de Paderborn. Ganó algunos premios antes de graduarse, y en 1834, siguiendo los deseos de su padre, ingresó en la Universidad de Bonn para estudiar comercio y finanzas. Sin embargo, estas materias no le interesaban y pasó la mayor parte del tiempo bebiendo, practicando esgrima y leyendo libros de matemáticas.

En 1839 fue aceptado en la Academia de Teología y Filosofía de Münster, donde encontró la inspiración matemática de manos de Christof Guderman, quien le introdujo en la teoría de las series de potencias, que más tarde serían la base de todo su trabajo. Su primer escrito importante, publicado en 1841, fue un ensayo sobre funciones elípticas. Durante los quince años siguientes se dedicó a dar clase en una escuela de enseñanza secundaria.

En 1854 envió un trabajo sobre funciones abelianas a una publicación matemática de prestigio, y sorprendió a la comunidad matemática con su genio. Por este trabajo recibió el doctorado honorífico de la Universidad de Königsberg y en 1856 fue aceptado como profesor asociado en la Universidad de Berlín. En 1864 fue ascendido a profesor, cargo que ostentó el resto de su vida. Desafortunadamente, tras los ataques públicos de Kronecker por su apoyo a las ideas de Cantor, y la muerte de su amiga Sofía Kovalevskaya, se hundió mentalmente y pasó el resto de su vida en una silla de ruedas hasta que murió, en 1987, víctima de una neumonía.

Weierstrass puede considerarse uno de los padres del cálculo infinitesimal moderno, y a él se debe la definición ε-δ para los límites, la continuidad y derivabilidad de funciones. Uno de los resultados más conocidos y que llevan su nombre, es el Teorema de Weierstrass sobre funciones continuas:
Una función continua en un intervalo cerrado, alcanza siempre su máximo y su mínimo.


Tito Eliatron Dixit

martes, 4 de noviembre de 2008

La gran mentira de las funciones continuas

Qué es una función continua? Parece una pregunta, para los iniciados en las Matemáticas, muy fácil de responder. Incluso si alguien no sabe mucho del tema, puede tener una intuición de lo que se trata.

Si nos vamos a la Wikipedia, en el artículo sobre Continuidad Matemática podemos leer en su primer párrafo lo siguiente:
Intuitivamente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.(1)
¿Es esto realmente cierto? Vamos a adentrarnos un poco más para poder responder a esta cuestión.

Vamos a fijar conceptos y vamos a quedarnos con funciones definidas en intervalos (que es lo más común). Así que vamos a trabajar con el conjunto de funciones continuas en el intervalo [0,1] ¿para qué irnos a un intervalo más raro?.

Informalmente, si elegimos cualquier punto, por ejemplo 0'5 de [0,1], decimos que una función f(x) es continua en 0'5 si cuando la variable independiente x se acerca a 0'5, la función se acerca al valor esperado: f(0'5). Sencillo, ¿verdad? Pues ahora vamos a escribirlo en forma matemática con la notación ε- δ.

Una función f(x) (definida en [0,1]) es continua en un punto a de [0,1] si:
Con esta definición, podemos encontrar funciones raras, como, por ejemplo, la función característica de los racionales:
que resulta ser continua en ningún punto (elijamos el punto que elijamos, la función no es continua en ese punto).

Pero vamos a dar un paso más. Vamos a hablar de funciones derivables. De nuevo, intuitivamente, una función es derivable si es suave, es decir, no tiene picos. Pero matemáticamente, una función f(x) es derivable en, por ejemplo, un punto cualquiera a del intervalo (0,1) si
¿Y qué relación hay entre estos conceptos? Muy fácil. Si una función es derivable en un punto, también es continua; pero esto no ocurre al revés.
¿Pero dónde está la gran mentira?
Tranquilidad... que todo llega. Gracias al concepto de derivada, podemos estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función, es decir, si la gráfica de la función sube o baja. Si la derivada de una función es positiva en un intervalo, entonces es creciente, y si es negativa, es decreciente. Ojo que tiene que ser en un intervalo, que en un único punto no vale.
Pues ahora viene lo bueno. En 1931 un tal Stephane Banach (a lo mejor os suena de algo) probó un resultado que decía que:
El conjunto G de funciones continuas en [0,1] y no derivables en cualquier punto de (0,1), es residual.
Residual? eso qué es lo que es? Pues según dice la wikipedia, un conjunto es residual si su complementario es una unión numerable de conjuntos con interior vacío, es decir, un conjunto muy pequeño desde el punto de vista topológico. Si no os creéis que sean tantas estas funciones tan raras, deciros que en 1967 un matemático ruso, Vladimir Gurariy, demostró que existe un subespacio vectorial de dimensión infinita tal que cualquier función (no idénticamente nula) del subespacio está en G.
Total, que, coloquialmente, hay muchísimas (pero deverdad que muchas muchas) funciones en G y muy pocas (de verdad que poquísimas) fuera. Pero es que entre estas úultimas funciones, están las que tienen derivada en tondos los puntos.
Y ahora pensemos un poco. Cuando dibujamos o nos dibujan una función continua, por mucho que queramos, la dibujamos un ratito para arriba y un ratito para abajo, me explico, en algunos trozos será creciente (luego con derivada positiva) y en otros decreciente (luego con derivada negativa). Es decir, si queremos dibujar una función continua, seguro que no está en G.
Luego cuando en los libros de matemáticas nos dibujan una función continua... no es representativa de la mayoría de las funciones continuas. Más aún... la más común de las funciones continuas... no se puede dinujar.
En fin, que el Mundo de las Matemáticas es tan raro, que lo que parece normal, es lo raro y lo que parece raro, es lo normal.

Tito Eliatron Dixit.


(1)En el artíuclo original en Inglés indican que esta idea es imprecisa e inexacta.

lunes, 3 de noviembre de 2008

¿Qué son las Matemáticas?

Pregúntale a un filósofo “¿qué es la filosofía?”, o a un historiador “¿qué es la historia?” y no tendrán dificultad en dar una respuesta. Ninguno de ellos, de hecho, puede dedicarse a su disciplina sin saber qué es lo que está buscando. Pero pregúntale a un matemático “¿qué son las matemáticas?” y él puede justificadamente responder que no sabe la respuesta, pero que no por esto dejará de hacer matemáticas.
François Laserre

vía Boletín 93 de la RSME


Esta cita va en la misma línea de la titulada Qué cruel es ser matemático en Gaussianos.

Las matemáticas son una herramienta tan potente, que (casi -quizás Gauss o Euler-) ningún matemático puede tener una visión global absoluta. De hecho, es la única ciencia que ha ideado una herramienta dentro de ella misma para autoevaluarse y buscarse los fallos: El teorema de Gödel.

Tito Eliatron Dixit.

jueves, 30 de octubre de 2008

Callejero matemático español (I)

Aprovechando que Google ha lanzado el Google Street View en varias ciudades españolas, voy a iniciar una serie dedicada a las calles de nuestro país dedicadas a matemáticos.

Y como los comienzos los queremos facilones, vamos a iniciar la serie con las 2 calles (que yo he encontrado) que ya de por sí tienen la palabra "matemático" en su denominación.

La primera de ellas es la Calle Matemáticos Rey Pastor y Castro de Sevilla.


Ver mapa más grande

Se trata de una calle en la antigua Expo'92 y que actualmente bordea al Parque de atracciones Isla Mágica.

Sobre Julio Rey Pastor ya hablé en la serie de Breves Reseñas de Matemáticos, apuntar aquí que, probablemente, sea el Matemático español con mayor prestigio en el extranjero durante buena parte del Siglo XX.

El segundo matemático nombrado en esta calle, es Don Antonio de Castro y Brzezicki. Para mi es un gran honor hablar de él, pues es el artífice de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla y los estudios de Matemáticas, así como el Alma Mater del Departamento de Análisis Matemático al que estoy adscrito. Además fue, probablemente, el máximo colaborador de Julio Rey Pastor.

La segunda calle es Matemático Marzal de Valencia.


Ver mapa más grande

Se trata de una céntrica calle de la capital del Turia, muy cerca de la estación de tren. Está dedicada al matemático valenciano Miguel Marzal y Bertomeu, que fue catedrático de Análisis Matemático de las Facultades de Ciencias de la Universidad de BArcelona y la Universidad de valencia entre finales del siglo XIX y principios del XX y fue miembro de la Sociedad Matemática Española (entonces no Real) desde 1911, año de su fundación.

Sé, de sobra, que hay muchas más calles. En su momento les iré dando un lugar en este humilde blog. Pero, por supuesto, se agradecería (y se espera) cualquier colaboración con la causa: Es triste pedir, pero más triste es plagiar.

Tito Eliatron Dixit

martes, 28 de octubre de 2008

El Lema de los Apretones de Manos

Hace unas semanas, publiqué un problema sobre apretones de manos.
Tras comentarlo con un compañero experto en Teoría de Grafos, me dijo que se trataba de una ejemplificación de un resultado muy conocido: El Lema del Apretón de Manos.

Vamos a hablar un poquito de Teoría de Grafos antes de ver este lema.
Como bien comentan en Gaussianos en un post sobre Los Puentes de Königsberg,
Un grafo es básicamente un conjunto no vacío (al menos contiene un elemento) de puntos llamados vértices y un conjunto de líneas llamadas aristas cada una de las cuales une dos vértices.
[...]
Se dice que un grafo es simple si para cualesquiera dos vértices existe a lo sumo una arista que los une.

Una vez que tenemos los ingredientes básicos, vamos a profundizar un poquito más.

En un grafo simple, se llama valencia(1) grado de un vértice al número de aristas que inciden en él.

Por ejemplo, en el Grafo de arriba, la valencia el grado de cada vértice son:
d(V1)=2, d(V2)=2, d(V3)=1, d(V4)=1.


Bien, ahora sí que tenemos todos los ingredientes necesarios para hablar del Lema de los Apretones de Mano.

Teorema: Sea G un grafo simple (y finito). La suma de las valencias los grados da cada vértice es, exactamente, el doble del número de aristas.
Comprobación: Bueno, en el grafo del ejemplo anterior vemos que el número de aristas es 3 y la suma de todas las valencias los grados es, precisamente, 6.
Demostración: Para demostrar rigurosamente este teorema, basta con darnos cuenta que cada vez que introduzco 1 arista en un grafo, la valencia el grado del vértice inicial y final aumenta en 1 unidad cada uno, luego la suma de valencias grados aumenta 2 unidades por cada arista.

Muy bien, ya tnemos demostrado un teorema de Teoría de Grafos y nos podemos sentir un poco como Euler cuando resolvió el problema de los Puentes de Königsberg (salvando las distancias espacio-temporales). Ahora sí que podemos empezar a hablar de nuestro Lema.

Lema de los Apretones de Manos (Handshake lemma): En un grafo simple, hay un número par de vértices con valencia grado impar (aceptamos el 0 como número par).
Comprobación: En el grafo del ejemplo, hay 2 vértices con valencia grado 1.
Demostración: Vamos a dividir los vértices entre aquéllos con valencia grado par P y aquellos con valencia grado impar I.
El Teorema anterior nos dice que:
ΣV∈ P d(V)+ ΣV∈ I d(V)= 2·(nº de aristas)
Luego, esa suma ha de ser PAR. Pero analicemos cada sumando. El primero de ellos, es una suma de números pares (recordemos que P era el conjunto de vértices con valencia grado par), luego es PAR. Por lo tanto, para que todo cuadre, el segundo sumando tiene que ser también par. Pero resulta que el segundo sumando es una suma de impares (I era el conjunto de vértices con valencia grado impar) por lo tanto para que al final sea par, el número de vértices de I ha de ser par.

¿Y cómo ayuda esto al problema de los apretones de mano? Pues basta con identificar a cada persona de la reunión con un vértice, y cada apretón de manos entre 2 personas, corresponde a una arista que une lso vértices correspondientes.

Tito Eliatron Dixit.



Actualización:
(1)El término valencia, por lo visto, está tratando de ser eliminado por los expertos en la materia, en detrimento de grado, pues valencia recuerda a los elementos químicos.

lunes, 27 de octubre de 2008

Derecho a pensar

Defiende tu derecho a pensar.
Pensar equivocándote es mejor que no pensar
Hypatia de Alejandría
vía Azúcar y Sal

¿Y tú qué piensas?

Tito Eliatron Dixit

viernes, 24 de octubre de 2008

En ocasiones, mi TeX ve 3'14

Después de ver al número π en varias ocasiones, y algunas más, hoy, tras hacer correr mi versión de LaTeX (WinEdt+MikTeX), me doy cuenta de lo siguiente:

Me da la impresión que es una especie de easter-egg, pero a mi me ha hecho sonreir un rato.

Tito Eliatron Dixit.

jueves, 23 de octubre de 2008

Olimpiada Internacional Matemática y Ciencia en Acción en La 2 de TVE

Según informa la RSME a sus miembros vía e-mail, mañana Viernes 24 de Octubre de 10:00 a 11:00, en el programa UNED de La 2 de TVE, ofrecerá sendos reportajes sobre la 49 Olimpiada Internacional de Matemáticas, celebrada este año en Madrid, seguida de un reportaje sobre Ciencia en Acción, actividad en la que colabora la RSME y que pretende acercar el mundo de la ciencia al público en general.

El reportaje de la Olimpiada se repetirá el sábado 25 de 7:30 a 8:00, y el de Ciencia en Acción, el domingo 26 de 7.30 a 8.00.

Como Bonus Track de esta entrada, os dejo un enlace a la web de RTVE donde hay algunos vídeos de este programa. En particular, el primero de ellos es un reportaje emitido el 10 de Octubre titulado Euler, la matemática infinita.

Tito Eliatron Dixit.

Gran concurso de Literatura Irracional

Gracias a una entrada del blog juegosdeingenio.org, he llegado al Gran concurso de Literatura Irracional organizado por Espejo Lúdico.

Se trata de un concurso de microrrelatos basados en 3 de los más importantes números irracionales: π, φ (el número de oro) y √2. Las palabras de estos microrrelatos han de servir de regla nemotécnica para los dígitos de estos números. Al estilo del siguiente micropoema extraído del artículo de la Wikipedia sobre el número π:
Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros


Desde este humilde blog, me gustaría animar a todos a participar en este concurso en el que yo ya he hecho mi pequeña aportación, que en su día pondré por aquí.

Tito Eliatron Dixit
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