jueves, 23 de junio de 2016

Una demostración "elemental" del problema de Basilea

Como muchos de vosotros sabéis, el Problema de Basilea consistía en calcular cuánto vale la suma de los inversos de los cuadrados de los números naturales, es decir, calcular

[;\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2};]

La historia que hay detrás de este problema es muy bonita y os recomiendo que leáis el artículo de Gaussianos que enlazo en la primera frase.

Os resumo un poco el final. En la segunda mitad del siglo XVII, ya se conocía que esta suma era finita, pero ninguno de los matemáticos que atacaron el problema (gente como Jakob Bernoulli, Johann Bernoulli, Leibniz y Wallis, por ejemplo) puedieron con él. Fue, sin embargo el príncipe de las matemáticas, Leonhard Euler quien, con una facilidad asombrosa, no sólo calculó esta suma sino todas las del tipo
[;\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{2k}}\ \text{con}\ k\in{\mathbb N}.;]
Por cierto que la solución es [;\pi^2/6;].

Sin emabrgo, la prueba de Euler contenía alguna omisión. Esta omisión es lo que hoy en día se conoce como Teorema de Mittag-Leffer y es uno de los resultados duros de un curso de Variable Compleja.

Se conocen varias demostraciones de esta suma. Quizás la más conocida (la que a mi me enseñaron) es la que hace uso del desarrollo en Series de Fourier de la función [;{\rm sen}(x);]. Pero tiene como problema que hay que estudiar Series de Fourier, y esto suele darse en un segundo curso del Matemáticas.

A continuación os voy a presentar una demostración "elemental" del Problema de Basilea. Una demostración que está al alcance, incluso, de alumnos de Bachillerato y que tan sólo hace uso del concepto de límite y de integral.

martes, 24 de mayo de 2016

Una prueba alternativa de la derivada del producto

Una de las reglas de derivación que más se utilizan es la derivada de un producto de funciones. Creo que todo estudiante de bachillerato la conoce:
[;(f\cdot g)^\prime= f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime;]


Pero quizás lo que se vea menos es la demostración de esta propiedad. Y quizás la razón es que es poco intuitiva (para un alumno de bachillerato o primer curso de una carrera científico-técnica). La demostración estándar la podéis encontrar en la wikipedia, por ejemplo. Aquí os traigo otra demostración mucho más sencilla e intuitiva que he encontrado a través de Facebook (siento no tener el enlace).

domingo, 24 de abril de 2016

El número π, el principio del palomar... y el caos.

Todos sabemos que [;\pi;] es un número irracional y, como tal, posee infinitos decimales no periódicos. De los decimales de [;\pi;]se han dicho muchas cosas, como por ejemplo, que en ellos está contenido todo el universo (aunque de esto no estamos aún seguros). Pero lo que sí podemos decir es lo siguiente.

Fíjate en la sucesión de los múltiplos de [;\pi;], es decir, [;(n\pi)_{n\in{\mathb N};].  Ahora olvídate de la parte entera y quédate solo con sus decimales: [;S=({n\pi}=n\pi-[n\pi])_{n\in{\mathbb N};].
  Pues bien, vamos a demostrar que la sucesión [;S;] es densa en todo el intervalo [;[0,1];], es decir, que cualquier número de dicho intervalo se puede aproximar tanto como queramos mediante términos de [;S;].

sábado, 26 de marzo de 2016

Premio #CarnaMat71

Siento el retraso debido a las (merecidas) vacaciones de Semana Santa, pero ya vengo con el fallo del jurado del Premio Carnaval de Matemáticas en su Edición 7.1: Sexto Aniversario.

El ganador, con 16 puntos (4+4+4+2+2) es la entrada

martes, 1 de marzo de 2016

Resumen de la Edición 7.1 (#CarnaMat71) del Carnaval de Matemáticas

21 entradas participantes de 15 blogs diferentes. Estos son los números de la Edición 7.1: Sexto Aniversario del  Carnaval de Matemáticas que finalizó el pasado domingo 28 de febrero (día de Andalucía, mi tierra).


Así que sin más dilación os dejo con todas ellas por orden de publicación:

miércoles, 24 de febrero de 2016

Calculando la altura de un triangulo conocidos sus lados

Hoy va la cosa de triángulos y la pregunta es sencilla. Dado un triángulo cualquiera ¿cómo calcularías (al menos) una de sus alturas? Vale, vamos a concretar algo más. Suponed que tenéis únicamente los lados de un triángulo y por supuesto, no disponéis de instrumentos de medida (ni reglas ni transportadores de ángulo ni nada que se le parezca). ¿Cómo calculáis una de sus alturas? Pensad un poco antes de continuar.


martes, 16 de febrero de 2016

Edición 7.1: Sexto Aniversario del Carnaval de Matemáticas (22-28 de febrero)

Seis años ya. Y aunque el cansancio aceche, aquí seguimos divulgando las matemáticas una vez al mes.
Seis años ya. Y aunque el anumerismo siga siendo el pan nuestro de cada día, aquí seguimos contando matemáticas.
Seis años ya. Y aunque sea difícil encontrar nuevos retos, aquí seguimos escudriñando los más recónditos lugares de las matemáticas para desvelar sus más íntimos secretos.
Seis años ya. 
Y aquí sigue el Carnaval de Matemáticas en su Edición 7.1.


Pasen y disfruten.

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